論文の概要: Physics-Informed Deep B-Spline Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2503.16777v2
• Date: Sat, 18 Oct 2025 16:03:45 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-25 00:56:38.255208
• Title: Physics-Informed Deep B-Spline Networks
• Title（参考訳）: 物理インフォームド深部Bスプラインネットワーク
• Authors: Zhuoyuan Wang, Raffaele Romagnoli, Saviz Mowlavi, Yorie Nakahira,
• Abstract要約: 偏微分方程式を学習するための物理インフォームド深部Bスプラインネットワークを提案する。 B-スプラインネットワークは、ニューラルネットワークを通してB-スプライン制御点を学習することにより、異なるパラメータとICBCを持つPDEの族を近似する。 B-スプラインネットワークは, 温和な条件下での家族の普遍近似であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.593829882136678
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Physics-informed machine learning offers a promising framework for solving complex partial differential equations (PDEs) by integrating observational data with governing physical laws. However, learning PDEs with varying parameters and changing initial conditions and boundary conditions (ICBCs) with theoretical guarantees remains an open challenge. In this paper, we propose physics-informed deep B-spline networks, a novel technique that approximates a family of PDEs with different parameters and ICBCs by learning B-spline control points through neural networks. The proposed B-spline representation reduces the learning task from predicting solution values over the entire domain to learning a compact set of control points, enforces strict compliance to initial and Dirichlet boundary conditions by construction, and enables analytical computation of derivatives for incorporating PDE residual losses. While existing approximation and generalization theories are not applicable in this setting - where solutions of parametrized PDE families are represented via B-spline bases - we fill this gap by showing that B-spline networks are universal approximators for such families under mild conditions. We also derive generalization error bounds for physics-informed learning in both elliptic and parabolic PDE settings, establishing new theoretical guarantees. Finally, we demonstrate in experiments that the proposed technique has improved efficiency-accuracy tradeoffs compared to existing techniques in a dynamical system problem with discontinuous ICBCs and can handle nonhomogeneous ICBCs and non-rectangular domains.
• Abstract（参考訳）: 物理インフォームド機械学習は、観測データと物理法則を統合することで、複雑な偏微分方程式(PDE)を解くための有望なフレームワークを提供する。 しかし、パラメータの異なるPDEを学習し、理論的な保証を伴う初期条件と境界条件(ICBC)を変更することは、未解決の課題である。 本稿では,B-spline 制御点をニューラルネットワークで学習することにより,PDE の族を異なるパラメータと ICBC で近似する新しい手法である物理インフォームドディープ B-spline ネットワークを提案する。 提案したB-スプライン表現は,領域全体の解値の予測から,コンパクトな制御点の集合の学習までの学習課題を低減し,初期およびディリクレ境界条件への厳密なコンプライアンスを構築により実施し,PDE残差を取り入れた導関数の解析計算を可能にする。 既存の近似や一般化理論はこの環境では適用できないが、パラメータ化されたPDEファミリーの解はB-スプライン基底によって表されるが、このギャップを埋めるのは、B-スプラインネットワークが穏やかな条件下でそのようなファミリーの普遍近似であることを示すことである。 また、楕円型および放物型PDE設定の両方において、物理インフォームドラーニングのための一般化誤差を導出し、新しい理論的保証を確立する。 最後に,不連続な ICBC を持つ力学系問題において,提案手法が既存の手法と比較して効率・精度のトレードオフを改善し,非均一な ICBC および非矩形領域を扱えることを示した。

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