論文の概要: Quadratic polarity and polar Fenchel-Young divergences from the canonical Legendre polarity

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.04812v1
• Date: Thu, 05 Mar 2026 04:57:06 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-06 22:06:11.077012
• Title: Quadratic polarity and polar Fenchel-Young divergences from the canonical Legendre polarity
• Title（参考訳）: 正統的ルジャンドル極性からの二次極性と極性フェンシェル・ヤング分岐
• Authors: Frank Nielsen, Basile Plus-Gourdon, Mahito Sugiyama,
• Abstract要約: 極性は$n$次元射影幾何学の基本的な相互双対性である。 二次極性関数によって誘導される一般極性は、変形したルジャンドル極性または変形した凸体のルジャンドル極性として表現できることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 15.72036943241928
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Polarity is a fundamental reciprocal duality of $n$-dimensional projective geometry which associates to points polar hyperplanes, and more generally $k$-dimensional convex bodies to polar $(n-1-k)$-dimensional convex bodies. It is well-known that the Legendre-Fenchel transformation of functions can be interpreted from the polarity viewpoint of their graphs using an extra dimension. In this paper, we first show that generic polarities induced by quadratic polarity functionals can be expressed either as deformed Legendre polarity or as the Legendre polarity of deformed convex bodies, and be efficiently manipulated using linear algebra on $(n+2)\times (n+2)$ matrices operating on homogeneous coordinates. Second, we define polar divergences using the Legendre polarity and show that they generalize the Fenchel-Young divergence or equivalent Bregman divergence. This polarity study brings new understanding of the core reference duality in information geometry. Last, we show that the total Bregman divergences can be considered as a total polar Fenchel-Young divergence from which we newly exhibit the reference duality using dual polar conformal factors.
• Abstract（参考訳）: 極性(Polarity)は、極性超平面(英語版)やより一般的には$k$次元凸体を極性$(n-1-k)$次元凸体に関連付ける、$n$次元射影幾何学の基本的な相互双対性である。 関数のルジャンドル・フェンシェル変換が余剰次元を用いてグラフの極性の観点から解釈できることはよく知られている。 本稿では, 2次極性関数によって誘導される一般極性は, 変形したルジャンドル極性あるいは変形した凸体のルジャンドル極性として表すことができ, 等質座標で作用する行列を$(n+2)\times (n+2)$で線形代数を用いて効率的に操作できることを示す。 第二に、ルジャンドル極性を用いて極性発散を定義し、フェンシェル・ヤング発散あるいは同等のブレグマン発散を一般化することを示す。 この極性の研究は、情報幾何学におけるコア参照双対性の新しい理解をもたらす。 最後に、ブレグマンの発散は全極性フェンシェル・ヤング発散と見なせることを示し、そこから新たに双極性共形因子を用いた参照双対性を示す。

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