論文の概要: Kernel Methods for Some Transport Equations with Application to Learning Kernels for the Approximation of Koopman Eigenfunctions: A Unified Approach via Variational Methods, Green's Functions and the Method of Characteristics

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.06872v1
• Date: Fri, 06 Mar 2026 20:46:20 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-10 15:13:13.293043
• Title: Kernel Methods for Some Transport Equations with Application to Learning Kernels for the Approximation of Koopman Eigenfunctions: A Unified Approach via Variational Methods, Green's Functions and the Method of Characteristics
• Title（参考訳）: クープマン固有関数近似への学習カーネルの適用を考慮した輸送方程式のカーネル法:変分法による統一的アプローチ,グリーン関数と特性法
• Authors: Boumediene Hamzi, Houman Owhadi, Umesh Vaidya,
• Abstract要約: 本稿では, 輸送方程式に適した再生カーネルを構築するための, 理論および計算の統一的な枠組みを提案する。 これらの固有関数は、我々が反転する輸送型偏微分方程式(PDE)を満たす。 関連するカーネル固有関数 (Mercer モード) は、RKHS にあるとき、L2 において真のクープマン固有関数に収束することを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.2116198597240846
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We present a unified theoretical and computational framework for constructing reproducing kernels tailored to transport equations and adapted to Koopman eigenfunctions of nonlinear dynamical systems. These eigenfunctions satisfy a transport-type partial differential equation (PDE) that we invert using three analytically grounded methods: (i) A Lions-type variational principle in a reproducing kernel Hilbert space (RKHS), (ii) convolution with a Green's function, and (iii) a resolvent operator constructed via Laplace transforms along characteristic flows. We prove that these three constructions yield identical kernels under mild smoothness and causality assumptions. We further show that the associated kernel eigenfunctions (Mercer modes) converge in L^2 to true Koopman eigenfunctions when the latter lie in the RKHS. Our approach is numerically realized through a mesh-free, convex optimization framework, enhanced with boundary regularization to handle eigenfunction blow-up. A multiple-kernel learning (MKL) scheme selects kernels automatically via residual minimization. Finally, we demonstrate that the same framework applies verbatim to a broader class of linear transport PDEs, including the advection, continuity, and Liouville equations. The unification of variational principles, Green's functions, and the method of characteristics enables the development of novel schemes for approximating eigenfunctions of transport equations, including those of the Koopman operator, and introduces a data-driven approach for learning kernels tailored to these approximations. Numerical experiments confirm the practical utility and robustness of the method.
• Abstract（参考訳）: 本稿では, 非線形力学系のクープマン固有関数に適応し, 輸送方程式に適した再生カーネルを構築するための統一的理論的および計算的枠組みを提案する。 これらの固有関数は輸送型偏微分方程式(PDE)を満たすが、3つの解析的基底法を用いて反転する。 (i)再生カーネルヒルベルト空間(RKHS)におけるライオン型変分原理 (二)グリーン関数との畳み込み、及び (iii)ラプラス変換を介して構築されたリゾルペント演算子。 これら3つの構造は、軽度な滑らかさと因果性仮定の下で同一の核を生成することを証明している。 さらに、関連するカーネル固有関数(マーサーモード)が、RKHS にあるとき、L^2 に真のクープマン固有関数に収束することが示される。 提案手法はメッシュフリーな凸最適化フレームワークにより数値的に実現され,固有関数のブローアップ処理のために境界正規化により拡張されている。 多重カーネル学習(MKL)方式は、残差最小化によりカーネルを自動的に選択する。 最後に、同じ枠組みが、対流、連続性、およびリウヴィル方程式を含むより広範な線形輸送PDEのクラスに冗長であることを示す。 変分原理の統一、グリーン関数、特性の方法により、クープマン作用素を含む輸送方程式の固有関数を近似する新しいスキームの開発が可能となり、これらの近似に合わせたデータ駆動型学習カーネルのアプローチが導入された。 数値実験により,本手法の実用性とロバスト性が確認された。

関連論文リスト

• Kernel Methods for Stochastic Dynamical Systems with Application to Koopman Eigenfunctions: Feynman-Kac Representations and RKHS Approximation [3.2116198597240846]
  我々は輸送方程式とクープマン固有関数の統一カーネルフレームワークを微分方程式(SDE)に拡張する。 決定論的条件下では、3つの基底近似-イオン型変分原理が同一の再現カーネルを生み出すことが示されている。 システムにとって、クープマン生成器は二階拡散項を含み、一階双曲輸送方程式を二階楕円-放物PDEに変換する。
  論文  参考訳（メタデータ） (2026-03-01T12:44:31Z)
• Solving Functional PDEs with Gaussian Processes and Applications to Functional Renormalization Group Equations [2.4011856828907923]
  非摂動関数的再正規化群方程式を解くための演算子学習フレームワークを提案する。 我々の手法は柔軟であり、幅広い関数微分方程式に適用できる。 特に,本手法は非定常場を扱えるため,より複雑なフィールド構成の研究が期待できる。
  論文  参考訳（メタデータ） (2025-12-24T05:27:20Z)
• A Physics-Informed Machine Learning Approach for Solving Distributed Order Fractional Differential Equations [0.0]
  本稿では,物理インフォームド機械学習フレームワークを用いた分散次分数差分方程式の解法を提案する。 分散階関数式をSVRフレームワークに組み込むことで、物理法則を直接学習プロセスに組み込む。 提案手法の有効性は,Caputo-based distributed-order fractional differential equationsの数値実験を通じて検証した。
  論文  参考訳（メタデータ） (2024-09-05T13:20:10Z)
• A Structure-Preserving Kernel Method for Learning Hamiltonian Systems [3.594638299627404]
  非線形ハミルトニアン関数の回復を可能にする構造保存カーネルリッジ回帰法を提案する。 本稿では,勾配の線形関数を含む損失関数を必要とする問題に対して,カーネル回帰法を拡張した。 固定正則化パラメータと適応正則化パラメータを用いて収束率を提供する完全誤差解析を行う。
  論文  参考訳（メタデータ） (2024-03-15T07:20:21Z)
• Experimental Design for Linear Functionals in Reproducing Kernel Hilbert Spaces [102.08678737900541]
  線形汎関数に対するバイアス認識設計のためのアルゴリズムを提供する。 準ガウス雑音下での固定および適応設計に対する漸近的でない信頼集合を導出する。
  論文  参考訳（メタデータ） (2022-05-26T20:56:25Z)
• Reinforcement Learning from Partial Observation: Linear Function Approximation with Provable Sample Efficiency [111.83670279016599]
  部分観察決定過程(POMDP)の無限観測および状態空間を用いた強化学習について検討した。 線形構造をもつPOMDPのクラスに対する部分可観測性と関数近似の最初の試みを行う。
  論文  参考訳（メタデータ） (2022-04-20T21:15:38Z)
• Scalable Variational Gaussian Processes via Harmonic Kernel Decomposition [54.07797071198249]
  汎用性を維持しつつ高い忠実度近似を提供する,スケーラブルな変分ガウス過程近似を導入する。 様々な回帰問題や分類問題において,本手法は変換やリフレクションなどの入力空間対称性を活用できることを実証する。 提案手法は, 純粋なGPモデルのうち, CIFAR-10 の最先端化を実現する。
  論文  参考訳（メタデータ） (2021-06-10T18:17:57Z)
• A Discrete Variational Derivation of Accelerated Methods in Optimization [68.8204255655161]
  最適化のための異なる手法を導出できる変分法を導入する。 我々は1対1の対応において最適化手法の2つのファミリを導出する。 自律システムのシンプレクティシティの保存は、ここでは繊維のみに行われる。
  論文  参考訳（メタデータ） (2021-06-04T20:21:53Z)
• Fourier Neural Operator for Parametric Partial Differential Equations [57.90284928158383]
  積分カーネルを直接フーリエ空間でパラメータ化することで、新しいニューラル演算子を定式化する。 バーガースの方程式、ダーシー流、ナビエ・ストークス方程式の実験を行う。 従来のPDEソルバに比べて最大3桁高速である。
  論文  参考訳（メタデータ） (2020-10-18T00:34:21Z)
• SLEIPNIR: Deterministic and Provably Accurate Feature Expansion for Gaussian Process Regression with Derivatives [86.01677297601624]
  本稿では,2次フーリエ特徴に基づく導関数によるGP回帰のスケーリング手法を提案する。 我々は、近似されたカーネルと近似された後部の両方に適用される決定論的、非漸近的、指数関数的に高速な崩壊誤差境界を証明した。
  論文  参考訳（メタデータ） (2020-03-05T14:33:20Z)

関連論文リストは本サイト内にある論文のタイトル・アブストラクトから自動的に作成しています。

指定された論文の情報です。
本サイトの運営者は本サイト（すべての情報・翻訳含む）の品質を保証せず、本サイト（すべての情報・翻訳含む）を使用して発生したあらゆる結果について一切の責任を負いません。