論文の概要: Stability and Bifurcation Analysis of Nonlinear PDEs via Random Projection-based PINNs: A Krylov-Arnoldi Approach

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.21568v1
• Date: Mon, 23 Mar 2026 04:41:10 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-24 19:11:39.490489
• Title: Stability and Bifurcation Analysis of Nonlinear PDEs via Random Projection-based PINNs: A Krylov-Arnoldi Approach
• Title（参考訳）: ランダム射影に基づくPINNによる非線形PDEの安定性と分岐解析:Krylov-Arnoldiアプローチ
• Authors: Gianluca Fabiani, Michail E. Kavousanakis, Constantinos Siettos, Ioannis G. Kevrekidis,
• Abstract要約: 物理インフォームドランダムプロジェクションニューラルネットワーク(PI-RPNN)による関数空間における解を求める非線形偏微分方程式(PDE)の安定性と分岐解析に対処する。 我々は,行列のないシフト反転型Krylov-Arnoldi法を導入し,数値的に階数不足なコロケーション行列の明示的な逆転を回避した。 PI-RPNNに基づく一般化固有値問題は、ほぼ確実に正則であり、標準固有解法による可解性を保証する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.4174475093445233
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
• Abstract: We address a numerical framework for the stability and bifurcation analysis of nonlinear partial differential equations (PDEs) in which the solution is sought in the function space spanned by physics-informed random projection neural networks (PI-RPNNs), and discretized via a collocation approach. These are single-hidden-layer networks with randomly sampled and fixed a priori hidden-layer weights; only the linear output layer weights are optimized, reducing training to a single least-squares solve. This linear output structure enables the direct and explicit formulation of the eigenvalue problem governing the linear stability of stationary solutions. This takes a generalized eigenvalue form, which naturally separates the physical domain interior dynamics from the algebraic constraints imposed by boundary conditions, at no additional training cost and without requiring additional PDE solves. However, the random projection collocation matrix is inherently numerically rank-deficient, rendering naive eigenvalue computation unreliable and contaminating the true eigenvalue spectrum with spurious near-zero modes. To overcome this limitation, we introduce a matrix-free shift-invert Krylov-Arnoldi method that operates directly in weight space, avoiding explicit inversion of the numerically rank-deficient collocation matrix and enabling the reliable computation of several leading eigenpairs of the physical Jacobian - the discretized Frechet derivative of the PDE operator with respect to the solution field, whose eigenvalue spectrum determines linear stability. We further prove that the PI-RPNN-based generalized eigenvalue problem is almost surely regular, guaranteeing solvability with standard eigensolvers, and that the singular values of the random projection collocation matrix decay exponentially for analytic activation functions.
• Abstract（参考訳）: 物理インフォームド・ランダム・プロジェクション・ニューラルネットワーク(PI-RPNN)で分散された関数空間で解を求める非線形偏微分方程式(PDE)の安定性と分岐解析のための数値的枠組みを,コロケーション・アプローチを用いて検討する。 これらはランダムにサンプリングされ固定された先行層重みを持つ単一隠れ層ネットワークであり、線形出力層重みのみが最適化され、最小二乗のトレーニングが解決される。 この線形出力構造は、定常解の線形安定性を管理する固有値問題の直接的および明示的な定式化を可能にする。 これは一般化された固有値形式をとり、物理的領域の内部力学を境界条件によって課される代数的制約から自然に分離し、追加の訓練コストと追加のPDE解を必要としない。 しかし、ランダムプロジェクションのコロケーション行列は本質的に数値的にランク不足であり、単純固有値計算は信頼性が低く、真の固有値スペクトルを刺激的な近ゼロモードで汚染する。 この制限を克服するために、行列のないシフト反転Krylov-Arnoldi法を導入し、数値的に階数不足なコロケーション行列の明示的な逆転を回避し、固有値スペクトルが線形安定性を決定する解場に対して、PDE作用素の離散化フレシェ微分である物理ヤコビアンのいくつかの先行固有ペアの信頼性の高い計算を可能にする。 さらに、PI-RPNNに基づく一般化固有値問題はほぼ確実に正則であり、標準固有解法との可解性を保証するとともに、乱射座標行列の特異値が指数関数に対して指数関数的に崩壊することを証明した。

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