論文の概要: Uniform Laws of Large Numbers in Product Spaces
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.24493v1
- Date: Wed, 25 Mar 2026 16:36:09 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-03-26 21:06:11.388437
- Title: Uniform Laws of Large Numbers in Product Spaces
- Title（参考訳）: 製品空間における大数の一様法則
- Authors: Ron Holzman, Shay Moran, Alexander Shlimovich,
- Abstract要約: カルテシアン積空間における一様収束現象について検討する。
大数の一様法則が事象の族に対して成り立つことは、その族の線型VC次元が有限であるときに限る。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 60.22626971185653
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Uniform laws of large numbers form a cornerstone of Vapnik--Chervonenkis theory, where they are characterized by the finiteness of the VC dimension. In this work, we study uniform convergence phenomena in cartesian product spaces, under assumptions on the underlying distribution that are compatible with the product structure. Specifically, we assume that the distribution is absolutely continuous with respect to the product of its marginals, a condition that captures many natural settings, including product distributions, sparse mixtures of product distributions, distributions with low mutual information, and more. We show that, under this assumption, a uniform law of large numbers holds for a family of events if and only if the linear VC dimension of the family is finite. The linear VC dimension is defined as the maximum size of a shattered set that lies on an axis-parallel line, namely, a set of vectors that agree on all but at most one coordinate. This dimension is always at most the classical VC dimension, yet it can be arbitrarily smaller. For instance, the family of convex sets in $\mathbb{R}^d$ has linear VC dimension $2$, while its VC dimension is infinite already for $d\ge 2$. Our proofs rely on estimator that departs substantially from the standard empirical mean estimator and exhibits more intricate structure. We show that such deviations from the standard empirical mean estimator are unavoidable in this setting. Throughout the paper, we propose several open questions, with a particular focus on quantitative sample complexity bounds.
- Abstract（参考訳）: 大数の一様法則は、Vapnik--Chervonenkis理論の基礎を形成し、VC次元の有限性によって特徴づけられる。
本研究では,カルテシアン積空間における一様収束現象を,積構造に相反する基底分布の仮定の下で研究する。
具体的には, 商品分布, 商品分布の疎混合, 相互情報の少ない分布など, 様々な自然条件を捉える条件として, 限界分布の積に対して, 分布が絶対連続であると仮定する。
この仮定の下では、大数の一様法則が事象の族に対して成り立つことは、その族の線型VC次元が有限であるときに限ることを示す。
線形VC次元は、軸平行線上にある破砕集合の最大サイズとして定義される。
この次元は常に古典的なVC次元のほとんどであるが、任意に小さくすることができる。
例えば、$\mathbb{R}^d$ の凸集合の族は線型VC次元が 2$ であり、そのVC次元は $d\ge 2$ に対して既に無限である。
我々の証明は、標準的な経験的平均推定器から大きく離れ、より複雑な構造を示す推定器に依存している。
この設定では、標準的な経験的平均推定器からの偏差は避けられないことを示す。
論文全体を通して、定量的サンプル複雑性境界に特に焦点をあてた、いくつかのオープンな質問を提案する。
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