論文の概要: On consistent estimation of dimension values
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2412.13898v2
- Date: Fri, 04 Jul 2025 12:13:00 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-07-08 17:51:39.514462
- Title: On consistent estimation of dimension values
- Title（参考訳）: 次元値の一貫した推定について
- Authors: Alejandro Cholaquidis, Antonio Cuevas, Beatriz Pateiro-López,
- Abstract要約: 点のランダムなサンプルから推定する問題として、ユークリッド空間のコンパクト部分集合$S$の次元を考える。
ミンコフスキー次元、相関次元、点次元の概念の3つの概念に焦点を当てる。
特に、ターゲット集合の真の体積関数 $V(r)$ が 0 から始まるある区間において a である場合について検討する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 45.52331418900137
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: The problem of estimating, from a random sample of points, the dimension of a compact subset $S$ of the Euclidean space is considered. The emphasis is put on consistency results in the statistical sense. That is, statements of convergence to the true dimension value when the sample size grows to infinity. Among the many available definitions of dimension, we have focused (on the grounds of its statistical tractability) on three notions: the Minkowski dimension, the correlation dimension and the, perhaps less popular, concept of pointwise dimension. We prove the statistical consistency of some natural estimators of these quantities. Our proofs partially rely on the use of an instrumental estimator formulated in terms of the empirical volume function $V_n(r)$, defined as the Lebesgue measure of the set of points whose distance to the sample is at most $r$. In particular, we explore the case in which the true volume function $V(r)$ of the target set $S$ is a polynomial on some interval starting at zero. An empirical study is also included. Our study aims to provide some theoretical support, and some practical insights, for the problem of deciding whether or not the set $S$ has a dimension smaller than that of the ambient space. This is a major statistical motivation of the dimension studies, in connection with the so-called ``Manifold Hypothesis''.
- Abstract（参考訳）: 点のランダムなサンプルから、ユークリッド空間のコンパクト部分集合$S$の次元を推定する問題を考える。
統計学的な意味では一貫性に重点を置いている。
すなわち、サンプルサイズが無限大に大きくなるとき、真の次元値に収束する文である。
多くの可利用次元の定義の中で、ミンコフスキー次元、相関次元、そしておそらくあまり一般的でない点次元の概念の3つの概念に焦点をあてた(統計的トラクタビリティの根拠に基づく)。
これらの量の自然推定器の統計的整合性を証明する。
我々の証明は、実験体積関数 $V_n(r)$ で定式化された楽器推定器の使用に部分的に依存しており、サンプルからの距離が少なくとも$r$である点の集合のルベーグ測度として定義される。
特に、ターゲット集合の真の体積関数 $V(r)$ が 0 から始まるある区間の多項式である場合について検討する。
実証的研究も含んでいる。
本研究の目的は,集合の$S$が周囲空間の次元よりも小さいかどうかを決定するための理論的支援と実践的な洞察を提供することである。
これは次元研究の主要な統計的動機であり、いわゆる「多様体仮説」に関連している。
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