論文の概要: From Liar Paradox to Incongruent Sets: A Normal Form for Self-Reference

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.24527v1
• Date: Wed, 25 Mar 2026 17:04:42 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-26 21:06:11.399366
• Title: From Liar Paradox to Incongruent Sets: A Normal Form for Self-Reference
• Title（参考訳）: 嘘つきパラドックスから同伴集合へ:自己参照の正規形式
• Abstract要約: 意味情報の構造的源としての不一致が果たす役割について考察する。 意味的完全性は情報的完全性を妨げるが、矛盾はそれを保っていることを示す。 共生は、局所的に実現可能であるが、グローバルに互換性のない意味的コミットメントとして構造的に表される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We introduce incongruent normal form (INF), a structural representation for self-referential semantic sentences. An INF replaces a self-referential sentence with a finite family of non-self-referential sentences that are individually satisfiable but not jointly satisfiable. This transformation isolates the semantic obstruction created by self-reference while preserving classical semantics locally and is accompanied by correctness theorems characterizing when global inconsistency arises from locally compatible commitments. We then study the role of incongruence as a structural source of semantic informativeness. Using a minimal model-theoretic notion of informativeness-understood as the ability of sentences to distinguish among admissible models-we show that semantic completeness precludes informativeness, while incongruence preserves it. Moreover, incongruence is not confined to paradoxical constructions: any consistent incomplete first-order theory admits finite incongruent families arising from incompatible complete extensions. In this sense, incompleteness manifests structurally as locally realizable but globally incompatible semantic commitments, providing a minimal formal basis for semantic knowledge. Finally, we introduce a quantitative semantic framework. In a canonical finite semantic-state setting, we model semantic commitments as Boolean functions and define a Fourier-analytic notion of semantic energy based on total influence. We derive uncertainty-style bounds relating semantic determinacy, informativeness, and spectral simplicity, and establish a matrix inequality bounding aggregate semantic variance by total semantic energy. These results show quantitatively that semantic informativeness cannot collapse into a single determinate state without unbounded energy cost, identifying incongruence as a fundamental structural and quantitative feature of semantic representation.
• Abstract（参考訳）: 自己参照意味文の構造表現である不一致正規形(INF)を導入する。 INFは、自己参照文を、個々に満足できるが、共同で満足できない有限個の非自己参照文に置き換える。 この変換は、古典的意味論を局所的に保存しながら自己参照によって生成された意味障害を分離し、局所的に互換性のあるコミットメントから大域的不整合が発生したときに特徴付ける正当性定理を伴っている。 次に、意味情報の構造的源としての矛盾の役割について研究する。 意味的完全性は情報的完全性を妨げるが、矛盾はそれを保っていることを示す。 さらに、矛盾はパラドックス的な構成に限らず、任意の一貫した不完全一階述語理論は、不整完全拡大から生じる有限の非矛盾族を許容する。 この意味で、不完全性は局所的に実現可能であるが、グローバルに互換性のない意味的コミットメントとして構造的に表され、意味的知識の最小の形式的基盤を提供する。 最後に,定量的なセマンティック・フレームワークを提案する。 正準有限意味状態設定では、意味的コミットメントをブール関数としてモデル化し、全影響に基づいて意味的エネルギーのフーリエ解析的概念を定義する。 意味的決定性, 情報性, スペクトル的単純性に関連する不確実性型境界を導出し, 全意味的エネルギーによる集合的意味的分散を束縛する行列不等式を確立する。 これらの結果から,セマンティック・インフォマティヴネスは,非有界エネルギーコストを伴わずに単一決定状態に崩壊することは不可能であり,セマンティック・表現の基本的な構造的,定量的な特徴として不一致を同定する。

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