論文の概要: How much of persistent homology is topology? A quantitative decomposition for spin model phase transitions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.29072v1
• Date: Mon, 30 Mar 2026 23:19:27 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-04-01 15:25:02.944012
• Title: How much of persistent homology is topology? A quantitative decomposition for spin model phase transitions
• Title（参考訳）: トポロジーの持続的ホモロジーはどのくらいあるか?スピンモデル相転移の定量的分解
• Authors: Matthew Loftus,
• Abstract要約: 点-クラウド永続ホモロジー(PH) -- スピンポジション点雲上のアルファまたはリップス錯体を計算し、古典的なスピンモデルにおける相転移を検出するために広く応用されている。 我々は、PH信号の本当のトポロジカルな部分について尋ねる。 f_topo は PH 統計量に対する密度駆動的およびトポロジカルな寄与を分離する分解である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Point-cloud persistent homology (PH) -- computing alpha or Rips complexes on spin-position point clouds -- has been widely applied to detect phase transitions in classical spin models since Donato et al. (2016), with subsequent studies attributing the detection to the topological content of the persistence diagram. We ask a simple question that has not been posed: what fraction of the PH signal is genuinely topological? We introduce f_topo, a quantitative decomposition that separates the density-driven and topological contributions to any PH statistic by comparing real spin configurations against density-matched shuffled null models. Across the 2D Ising model (system sizes L = 16-128, ten temperatures) and Potts models (q = 3, 5), we find that H_0 statistics -- total persistence, persistence entropy, feature count -- are 94-100% density-driven (f_topo < 0.07). The density-matched shuffled null detects T_c at the identical location and with comparable peak height as real configurations, showing that density alone is sufficient for phase transition detection. However, H_1 statistics are partially topological: the topological fraction grows with system size as delta(TP_{H_1}) ~ L^{0.53} and follows a finite-size scaling collapse delta(T, L) = L^{0.53} g(tL^{1/nu}) with collapse quality CV = 0.27. The longest persistence bar is strongly topological (f_topo > 1) and scales with the correlation length. A scale-resolved analysis reveals that the topological excess shifts from large-scale to small-scale features as L increases. We propose that the TDA-for-phase-transitions community adopt shuffled null models as standard practice, and that H_1 rather than H_0 statistics be used when genuine topological information is sought.
• Abstract（参考訳）: 点-クラウド永続ホモロジー(PH) -- スピンポジション点雲上のアルファまたはリップス錯体の計算 -- は、Donato et al (2016)以降、古典的なスピンモデルの相転移を検出するために広く応用され、その後の研究は、永続図のトポロジ的内容に寄与している。 提案されていない単純な質問: PH信号の本当のトポロジカルな部分は何ですか? 実スピン配置と密度マッチングされたシャッフルヌルモデルを比較することにより, PH統計学における密度駆動的および位相的寄与を分離する定量的分解 f_topo を導入する。 2次元イジングモデル(システムサイズL = 16-128, 10温度)とポッツモデル(q = 3, 5温度)全体で、H_0統計(総持続性、持続エントロピー、特徴量)は94-100%密度駆動(f_topo < 0.07)であることが判明した。 密度マッチングされたシャッフルヌルは、T_cを同じ位置で検出し、実際の構成と同等のピーク高さで検出し、位相遷移検出には密度だけで十分であることを示す。 しかし、H_1統計は部分的にトポロジカルであり、トポロジカル分画はデルタ(TP_{H_1}) ~ L^{0.53} としてシステムサイズとともに成長し、有限サイズのスケール崩壊デルタ(T, L) = L^{0.53} g(tL^{1/nu})と崩壊品質CV = 0.27と続く。 長持続棒は強位相(f_topo > 1)であり、相関長とともにスケールする。 スケール分解分析により,Lが増加するにつれてトポロジカルな過剰な変化が大規模から小規模に変化することが明らかとなった。 我々は,TDA-for-phase-transitionsコミュニティにおいて,シャッフルヌルモデルを標準手法として採用し,真のトポロジ情報を求める場合,H_0統計よりもH_1を用いることを提案する。

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