論文の概要: Stochastic Dimension Implicit Functional Projections for Exact Integral Conservation in High-Dimensional PINNs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.29237v1
• Date: Tue, 31 Mar 2026 04:07:51 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-04-01 15:25:03.138526
• Title: Stochastic Dimension Implicit Functional Projections for Exact Integral Conservation in High-Dimensional PINNs
• Title（参考訳）: 高次元PINNにおける厳密な積分保存のための確率次元含み関数投影法
• Authors: Zhangyong Liang,
• Abstract要約: ニューラル偏微分方程式(PDE)解法における質量とエネルギーとしての正確な保存則は、高次元において困難である。 本稿では,DS-I|timesDS (DS-I) を演算子にアストックカルサンプリングを導入し,メモリの削減を図る。 MathcalI|timesDSは、解決のためのスケーラブルなアプローチを提供する。 保守的な高次元PDE。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Enforcing exact macroscopic conservation laws, such as mass and energy, in neural partial differential equation (PDE) solvers is computationally challenging in high dimensions. Traditional discrete projections rely on deterministic quadrature that scales poorly and restricts mesh-free formulations like PINNs. Furthermore, high-order operators incur heavy memory overhead, and generic optimization often lacks convergence guarantees for non-convex conservation manifolds. To address this, we propose the Stochastic Dimension Implicit Functional Projection (SDIFP) framework. Instead of projecting discrete vectors, SDIFP applies a global affine transformation to the continuous network output. This yields closed-form solutions for integral constraints via detached Monte Carlo (MC) quadrature, bypassing spatial grid dependencies. For scalable training, we introduce a doubly-stochastic unbiased gradient estimator (DS-UGE). By decoupling spatial sampling from differential operator subsampling, the DS-UGE reduces memory complexity from $\mathcal{O}(M \times N_{\mathcal{L}})$ to $\mathcal{O}(N \times |\mathcal{I}|)$. SDIFP mitigates sampling variance, preserves solution regularity, and maintains $\mathcal{O}(1)$ inference efficiency, providing a scalable, mesh-free approach for solving conservative high-dimensional PDEs.
• Abstract（参考訳）: 神経偏微分方程式(PDE)解法において、質量やエネルギーなどの正確なマクロ保存則を強制することは、高次元において計算的に困難である。 従来の離散射影は、スケールが悪く、PINNのようなメッシュフリーな定式化を制限する決定論的定式化に依存している。 さらに、高階演算子は重いメモリオーバーヘッドを発生させ、一般最適化はしばしば非凸保存多様体に対する収束保証を欠いている。 そこで我々は,Stochastic Dimension Implicit Functional Projection (SDIFP) フレームワークを提案する。 離散ベクトルを投影する代わりに、SDIFPは連続ネットワーク出力に大域的なアフィン変換を適用する。 これにより、分離モンテカルロ二次函数(MC)による積分制約に対する閉形式解が得られ、空間格子依存をバイパスする。 スケーラブルなトレーニングのために,2つの確率的非バイアス勾配推定器(DS-UGE)を導入する。 微分作用素のサブサンプリングから空間サンプリングを分離することにより、DS-UGEはメモリの複雑さを$\mathcal{O}(M \times N_{\mathcal{L}})$から$\mathcal{O}(N \times |\mathcal{I}|)$に還元する。 SDIFPはサンプリング分散を緩和し、解の正則性を保ち、$\mathcal{O}(1)$推論効率を維持し、保守的な高次元PDEを解決するためのスケーラブルでメッシュフリーなアプローチを提供する。

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