論文の概要: Horospherical Depth and Busemann Median on Hadamard Manifolds
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.18242v1
- Date: Mon, 20 Apr 2026 13:23:57 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-04-21 21:52:52.897357
- Title: Horospherical Depth and Busemann Median on Hadamard Manifolds
- Title（参考訳）: アダマール多様体上の球面深さとブシェマン媒質
- Authors: Yangdi Jiang, Xiaotian Chang, Cyrus Mostajeran,
- Abstract要約: 本研究では,アダマール多様体に内在的な統計深度の概念である球面深度を導入する。
我々はブシェマン中央値をその最大値の集合として定義する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.6126272668390373
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: \We introduce the horospherical depth, an intrinsic notion of statistical depth on Hadamard manifolds, and define the Busemann median as the set of its maximizers. The construction exploits the fact that the linear functionals appearing in Tukey's half-space depth are themselves limits of renormalized distance functions; on a Hadamard manifold the same limiting procedure produces Busemann functions, whose sublevel sets are horoballs, the intrinsic replacements for halfspaces. The resulting depth is parametrized by the visual boundary, is isometry-equivariant, and requires neither tangent-space linearization nor a chosen base point.For arbitrary Hadamard manifolds, we prove that the depth regions are nested and geodesically convex, that a centerpoint of depth at least $1/(d+1)$ exists, and hence that the Busemann median exists for every Borel probability measure. Under strictly negative sectional curvature and mild regularity assumptions, the depth is strictly quasi-concave and the median is unique. We also establish robustness: the depth is stable under total-variation perturbations, and under contamination escaping to infinity the limiting median depends on the escape direction but not on how far the contaminating mass has moved along the geodesic ray, in contrast with the Fréchet mean. Finally, we establish uniform consistency of the sample depth and convergence of sample depth regions and sample Busemann medians; on symmetric spaces of noncompact type, the argument proceeds through a VC analysis of upper horospherical halfspaces, while on general Hadamard manifolds it follows from a compactness argument under a mild non-atomicity assumption.
- Abstract（参考訳）: 球面深さ(horospherical depth)は、アダマール多様体の統計的深さの概念であり、ブセマン中央値を最大値の集合として定義する。
この構成は、ツキーの半空間深さに現れる線型汎函数がそれ自体が再正規化距離函数の極限であるという事実を生かし、アダマール多様体上で同じ制限手順がブシェマン函数を生成し、その部分レベル集合はホロボールであり、半空間の内在的な置換である。
任意のアダマール多様体では、深さ領域がネストされ、測地的に凸であり、少なくとも1/(d+1)$の深さの中心点が存在し、従ってブセマン中央値がボレル確率測度ごとに存在することが証明される。
厳密な負の断面曲率と穏やかな正則性仮定の下では、深さは厳密な準凹であり、中央値は一意である。
また, 全変分摂動下では深さが安定であり, 無限に逃げ出す汚染下では, 被汚染物質が測地線に沿ってどこまで移動したかではなく, 流出方向に依存する。
最後に、サンプル深度領域とサンプルブーズマン中央値の均一な収束性を確立し、非コンパクト型の対称空間では、この議論は上面の球面半空間のVC解析を通じて進行し、一般のアダマール多様体では、穏やかな非原子性仮定の下でコンパクト性引数から従う。
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