論文の概要: A Randomized PDE Energy driven Iterative Framework for Efficient and Stable PDE Solutions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.25943v1
• Date: Fri, 17 Apr 2026 06:53:03 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-04 02:32:14.23709
• Title: A Randomized PDE Energy driven Iterative Framework for Efficient and Stable PDE Solutions
• Title（参考訳）: 効率よく安定なPDEソリューションのためのランダム化されたPDEエネルギー駆動反復フレームワーク
• Authors: Yi Bing, Zheng Ran, Fu Jinyang, Liu Long, Peng Xiang,
• Abstract要約: 偏微分方程式 (Partial differential equation, PDE) は、科学や工学の応用の中心である。 既存の数値解法は行列に基づく離散化に大きく依存している。 物理的に制約された拡散反復によってPDEを解くPDEエネルギー駆動フレームワークを提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.005135324395161
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Efficient and stable solution of partial differential equations (PDEs) is central to scientific and engineering applications, yet existing numerical solvers rely heavily on matrix based discretizations, while learning based methods require costly training and often suffer from limited generalization. In this work, we proposes a PDE energy driven framework that solves PDEs through physically constrained diffusion iterations, without relying on classical matrix based finite element assembly or data driven neural network training. The proposed method evolves arbitrary random initial fields through PDE energy driven implicit iterations combined with Gaussian smoothing, while strictly enforcing boundary conditions at each iteration. The proposed formulation is applied to representative one dimensional Poisson, Heat, and viscous Burgers equations, covering both steady state and transient problems. Numerical results demonstrate stable convergence to the unique physical solution from random initializations, with accurate resolution of sharp gradients and controlled Mean Squared Error (MSE) across a wide range of discretization parameters. Detailed comparisons with analytical solutions indicate that the framework achieves competitive accuracy and stability. Overall, the proposed framework provides a fast, flexible, and physically consistent alternative to traditional numerical solvers, offering a potential pathway for scalable PDE solutions in both research and engineering applications.
• Abstract（参考訳）: 偏微分方程式(PDE)の効率的で安定した解は、科学や工学の応用の中心であるが、既存の数値解法は行列に基づく離散化に大きく依存している。 本研究では,古典行列に基づく有限要素アセンブリやデータ駆動ニューラルネットワークのトレーニングに頼ることなく,物理制約付き拡散繰り返しによりPDEを解くPDEエネルギー駆動フレームワークを提案する。 提案手法は PDE エネルギー駆動型暗黙的反復とガウス的滑らか化を組み合わせた任意のランダム初期場を進化させ,各反復における境界条件を厳格に強制する。 提案した定式化はポアソン, 熱, 粘性バーガースの1次元方程式に応用され, 定常問題と過渡問題の両方をカバーする。 数値計算により, 急勾配の精度の高い解法と, 離散化パラメータの幅が広い平均二乗誤差(MSE)を, ランダム初期化から一意の物理解へ安定に収束することを示す。 分析解との詳細な比較は、このフレームワークが競争精度と安定性を達成することを示している。 全体として、提案したフレームワークは、従来の数値解法に代わる高速で柔軟で物理的に一貫した代替手段を提供し、研究および工学アプリケーションの両方においてスケーラブルなPDEソリューションの潜在的経路を提供する。

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