論文の概要: Meta-PDE: Learning to Solve PDEs Quickly Without a Mesh

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2211.01604v1
• Date: Thu, 3 Nov 2022 06:17:52 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-11-04 12:23:21.603415
• Title: Meta-PDE: Learning to Solve PDEs Quickly Without a Mesh
• Title（参考訳）: Meta-PDE: メッシュなしでPDEを素早く解決する学習
• Authors: Tian Qin, Alex Beatson, Deniz Oktay, Nick McGreivy, Ryan P. Adams
• Abstract要約: 偏微分方程式(PDE)は、しばしば計算的に解くのが難しい。 本稿では,関連するPDEの分布から,問題の迅速な解法を学習するメタラーニング手法を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 24.572840023107574
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Partial differential equations (PDEs) are often computationally challenging to solve, and in many settings many related PDEs must be be solved either at every timestep or for a variety of candidate boundary conditions, parameters, or geometric domains. We present a meta-learning based method which learns to rapidly solve problems from a distribution of related PDEs. We use meta-learning (MAML and LEAP) to identify initializations for a neural network representation of the PDE solution such that a residual of the PDE can be quickly minimized on a novel task. We apply our meta-solving approach to a nonlinear Poisson's equation, 1D Burgers' equation, and hyperelasticity equations with varying parameters, geometries, and boundary conditions. The resulting Meta-PDE method finds qualitatively accurate solutions to most problems within a few gradient steps; for the nonlinear Poisson and hyper-elasticity equation this results in an intermediate accuracy approximation up to an order of magnitude faster than a baseline finite element analysis (FEA) solver with equivalent accuracy. In comparison to other learned solvers and surrogate models, this meta-learning approach can be trained without supervision from expensive ground-truth data, does not require a mesh, and can even be used when the geometry and topology varies between tasks.
• Abstract（参考訳）: 偏微分方程式 (Partial differential equation, PDE) は、しばしば計算的に解くのが困難であり、多くの設定において、多くの関連するPDEは、時間ステップごとに、あるいは様々な候補境界条件、パラメータ、幾何学的領域に対して解決されなければならない。 本稿では,関連するPDEの分布から,問題の迅速な解法を学習するメタラーニング手法を提案する。 我々はメタラーニング(MAMLとLEAP)を用いて、PDEソリューションのニューラルネットワーク表現の初期化を識別し、新しいタスクにおいてPDEの残余を迅速に最小化できるようにする。 本研究では,非線形ポアソン方程式,1次元バーガース方程式,およびパラメータ,ジオメトリ,境界条件の異なる超弾性方程式に対してメタ解法を適用する。 非線形ポアソン方程式と超弾性方程式の場合、これは中間精度の近似をベースライン有限要素解析(FEA)の解法よりも同等の精度で高速化する。 他の学習したソルバやサロゲートモデルと比較して、このメタラーニングアプローチは、高価な地上構造データからの監督なしに訓練することができ、メッシュを必要としない。

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