論文の概要: Exact Nilpotent Collapse of Born-Neumann Expansions in Finite Quantum Systems: A SON Formulation for Exact Algebraic Closures of Scattering Series

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.11031v1
• Date: Sun, 10 May 2026 22:43:37 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-13 21:48:56.317641
• Title: Exact Nilpotent Collapse of Born-Neumann Expansions in Finite Quantum Systems: A SON Formulation for Exact Algebraic Closures of Scattering Series
• Title（参考訳）: 有限量子系におけるボルン・ノイマン展開の励起零度崩壊:散乱系列の特異な代数的閉包のSON定式化
• Authors: Ramon Moya,
• Abstract要約: 遷移グラフが有向非巡回グラフ(DAG)である有限量子系のクラスを研究する。 この場合、最終状態への遷移振幅は A_4 = t_42t_21 + t_43t_31 であり、構成的干渉、正確な破壊的干渉(暗黒状態形成)、部分的干渉を符号化する正確な代数的アイデンティティである。 ボルン近似は全ての状態においてほぼゼロの振幅を予測し、その結果、100%のケースで定量的に失敗する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We identify a class of finite quantum systems, namely, acyclic systems whose transition graph is a directed acyclic graph (DAG), for which the Born series collapses into an exact algebraic identity with finitely many terms and strictly zero truncation error. The sufficient condition is the nilpotency of the transfer operator T = G_0(E)V. If T^{m+1} = 0, then the exact solution of the Lippmann-Schwinger equation is the finite sum |psi> = sum_{k=0}^{m} T^k |phi>, with no condition on ||T||. We prove that the acyclicity of the transition graph implies the nilpotency of T (Theorem 19), and that the nilpotency index coincides with the maximal path length of the graph (Proposition 21). The main result (Theorem 23) concerns the four-level quantum system with diamond-graph structure. In this case, the transition amplitude toward the final state is A_4 = t_{42}t_{21} + t_{43}t_{31}, an exact algebraic identity encoding constructive interference, exact destructive interference (dark state formation), and partial interference. The first-order Born approximation predicts identically zero amplitude in all regimes, thereby failing quantitatively in 100% of the cases. The Born-SON framework additionally provides the exact full resolvent, the exact T-matrix, explicit error control in the quasi-nilpotent regime, and a scalar structural metric, the Born-SON depth, quantifying the intrinsic complexity of an acyclic quantum system.
• Abstract（参考訳）: 我々は有限個の量子系のクラス、すなわち遷移グラフが有向非巡回グラフ(DAG)である非巡回系を特定し、ボルン級数は有限個の項と厳密にゼロのトランケーション誤差を持つ正確な代数的恒等式に分解する。 十分な条件は、転送作用素 T = G_0(E)V の零点である。 T^{m+1} = 0 ならば、リップマン・シュウィンガー方程式の正確な解は、||T|| 上の条件のない有限和 |psi> = sum_{k=0}^{m} T^k |phi> である。 遷移グラフの非巡回性は T の零点(定理19)を意味し、零点指数はグラフの最大経路長と一致することを証明する(命題21)。 主な結果(Theorem 23)は、ダイヤモンドグラフ構造を持つ4レベル量子系に関するものである。 この場合、最終状態への遷移振幅は A_4 = t_{42}t_{21} + t_{43}t_{31} である。 1階のボルン近似は全てのレジームでほぼゼロの振幅を予測し、その結果、100%のケースで定量的に失敗する。 さらにボルン-SONフレームワークは、正確な完全分解剤、正確なT-行列、準Nilpotent regimeにおける明示的なエラー制御、およびスカラー構造計量であるボルン-SON深さを提供し、非環状量子系の内在的な複雑さを定量化する。

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