論文の概要: Quantum algorithms for the fractional Poisson equation via rational approximation
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.00603v1
- Date: Wed, 01 Apr 2026 08:08:33 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-04-09 14:43:12.27574
- Title: Quantum algorithms for the fractional Poisson equation via rational approximation
- Title（参考訳）: 有理近似による分数ポアソン方程式の量子アルゴリズム
- Authors: Yin Yang, Yue Yu, Long Zhang, Ming Zhou,
- Abstract要約: 有界領域上の(s in (0,1)) を持つ分数方程式 ((-)s u = f) を解く量子アルゴリズムを提案する。
提案手法は,有理近似手法と量子線形系解法を組み合わせることで,指数的量子優位性を実現する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 20.497126318288906
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
- Abstract: This paper presents a quantum algorithm for solving the fractional Poisson equation \((-Δ)^s u = f\) with \(s \in (0,1)\) on bounded domains. The proposed approach combines rational approximation techniques with quantum linear system solvers to achieve exponential quantum advantage. The rational approximation represents the inverse fractional Laplacian as a weighted sum of standard resolvents, transforming the original nonlocal problem into a collection of shifted integer-order partial differential equations. These equations are consolidated into a single large linear system through a modified right-hand side construction that simplifies the quantum implementation. To enable practical implementation, we develop explicit quantum circuits via the Schrödingerization technique, which converts the non-unitary dynamics of the linear system into a higher-dimensional Schrödinger-type equation, allowing the use of standard Hamiltonian simulation. The circuit construction leverages the decomposition of shift operators to realize the discrete Laplacian and employs controlled operations to implement the select oracle. Under finite difference discretization, we provide detailed algorithmic procedures utilizing block-encoding techniques for the coefficient matrices. A comprehensive complexity analysis demonstrates that the quantum algorithm achieves a dependence on the inverse mesh size \(h^{-1}\) that is independent of the spatial dimension \(d\), in stark contrast to classical methods which suffer from exponential growth in high dimensions. This establishes an exponential quantum advantage for high-dimensional fractional problems, effectively overcoming the curse of dimensionality that limits classical approaches.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,有界領域上でのポアソン方程式 \((-Δ)^s u = f\) と \(s \in (0,1)\) を解く量子アルゴリズムを提案する。
提案手法は,有理近似手法と量子線形系解法を組み合わせることで,指数的量子優位性を実現する。
有理近似は、逆分数ラプラシアンを標準分解剤の重み付け和として表し、元の非局所問題をシフト整数階偏微分方程式の集合に変換する。
これらの方程式は、量子的実装を単純化する修正された右辺の構成により、単一の大きな線形系に統合される。
実用的な実装を実現するため、線形系の非単位力学を高次元シュレーディンガー型方程式に変換するシュレーディンガー化法を用いて明示的な量子回路を開発し、標準ハミルトニアンシミュレーションを利用できるようにした。
回路構成はシフト演算子の分解を利用して離散ラプラシアンを実現し、選択したオラクルを実装するために制御された演算を利用する。
有限差分離散化の下では、係数行列のブロック符号化技術を利用した詳細なアルゴリズム処理を行う。
包括的複雑性解析により、量子アルゴリズムは、高次元の指数的成長に苦しむ古典的手法とは対照的に、空間次元 \(d\) に依存しない逆メッシュサイズ \(h^{-1}\) に依存することを示した。
これは高次元分数問題に対する指数的量子優位性を確立し、古典的アプローチを制限する次元性の呪いを効果的に克服する。
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