論文の概要: Learning Orthonormal Bases for Function Spaces

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.19959v1
• Date: Tue, 19 May 2026 15:12:05 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-20 15:03:09.467859
• Title: Learning Orthonormal Bases for Function Spaces
• Title（参考訳）: 関数空間のオルソノーマル基底の学習
• Authors: Hamidreza Kamkari, Mohammad Sina Nabizadeh, Justin Solomon,
• Abstract要約: ニューラルネットワークを用いて、スキュー随伴積分作用素によって支配される常微分方程式(ODE)の有限ランク生成を定義する。 階数 2 の生成元であっても、ODE の積分解は適切な作用素位相の下で群に密接である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 10.818158219098562
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Infinite-dimensional orthonormal basis expansions play a central role in representing and computing with function spaces due to their favorable linear algebraic properties. However, common bases such as Fourier or wavelets are fixed and do not adapt to the structure of a given problem or dataset. In this paper, we aim to represent these bases with neural networks and optimize them. Our key idea is that any target infinite-dimensional orthonormal basis can be viewed either as a point on the Lie manifold of the orthogonal group, or equivalently, as the endpoint of a continuous path on that manifold that connects a reference basis, e.g. Fourier, to that target. Paths on the Lie manifold satisfy ordinary differential equations (ODEs) governed by skew-adjoint integral operators. Using neural networks to define finite-rank generators of such ODEs allows us to parameterize and optimize orthonormal bases in function space. While relying on finite-rank generators to model infinite operators might seem restrictive, we prove a universality result: even with a rank-2 generator, the integrated solutions of the ODE are dense in the orthogonal group under the appropriate operator topology. In other words, for any target orthonormal basis, there exists a path originating from a reference basis and driven by finite-rank generators that gets arbitrarily close to that target basis. We demonstrate the flexibility of our framework by transforming the Fourier basis into the principal components of a functional dataset, eigenfunctions of linear operators, or dynamic modes of energy-preserving physical simulations.
• Abstract（参考訳）: 無限次元正則基底拡大は、その好ましい線型代数的性質のために函数空間を表現し、計算する際に中心的な役割を果たす。 しかし、フーリエやウェーブレットのような共通基盤は固定されており、与えられた問題やデータセットの構造に適応しない。 本稿では,これらのベースをニューラルネットワークで表現し,最適化することを目的とする。 我々のキーアイデアは、任意の無限次元直交基底を直交群のリー多様体上の点とみなすか、あるいは同値に、基準基底、例えばフーリエをその対象に接続する多様体上の連続経路の終点とみなすことができることである。 リー多様体上の経路は、スキュー随伴積分作用素によって支配される常微分方程式(ODE)を満たす。 ニューラルネットワークを用いて、そのようなODEの有限ランクジェネレータを定義することにより、関数空間における正規直交基底のパラメータ化と最適化が可能となる。 有限ランク生成器を使って無限作用素をモデル化することは制限的であるように思えるが、普遍性の結果が証明される:ランク 2 生成器でさえ、ODE の積分解は適切な作用素位相の下で直交群に密接である。 言い換えれば、任意の対象正規直交基底に対して、基準基底から派生し、その対象基底に任意に近づく有限ランク発生器によって駆動される経路が存在する。 フーリエ基底を関数的データセットの主成分、線形作用素の固有関数、エネルギー保存物理シミュレーションの動的モードに変換することで、我々のフレームワークの柔軟性を実証する。

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