論文の概要: Minimal Permutation-Invariant Qudit Codes from Edge-Colorings of Complete Graphs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.22439v1
• Date: Thu, 21 May 2026 13:08:38 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-22 20:14:18.569039
• Title: Minimal Permutation-Invariant Qudit Codes from Edge-Colorings of Complete Graphs
• Title（参考訳）: 完全グラフのエッジカラー化による最小変分符号
• Authors: Eric Kubischta, Ian Teixeira,
• Abstract要約: 対称部分空間 $mathrmSymn(mathbbCq) $ of $n$ qudits of local dimension $q$ で置換不変量子符号を研究する。 4つの物理キューディットは、すべての局所次元の対称セクターにおいて距離2の1つの論理キューディットを符号化するのに十分である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.297070083645049
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study permutation-invariant quantum codes in the symmetric subspace $\mathrm{Sym}^n(\mathbb{C}^q) $ of $n$ qudits of local dimension $q$. For every integer $q\geq 2$, we construct a permutation-invariant code with parameters $((4,q,2))_q$. Thus four physical qudits suffice to encode one logical qudit with distance two in the symmetric sector for every local dimension. We also show, using linear-programming constraints for permutation-invariant quantum codes, that no permutation-invariant code of dimension $q$ and distance at least $2$ exists in $\mathrm{Sym}^n(\mathbb{C}^q)$ for $n\leq 3$. Hence four qudits are necessary and sufficient. The construction has a simple representation-theoretic and combinatorial description. In the irreducible $\mathrm{SU}(q)$-module $\mathrm{Sym}^4(\mathbb{C}^q)$, the distance-two Knill-Laflamme conditions split into root and Cartan parts. By restricting supports to the even-entry occupation layer, all root-error conditions vanish automatically. The remaining Cartan conditions reduce to linear balancing constraints on packets of occupation vectors. These packets admit a natural graph-theoretic interpretation in terms of the vertices and edges of the complete graph $K_q$: for odd $q$, they are organized by the midpoint rule, while for even $q$, they are organized by a decomposition of $K_q$ into perfect matchings. In this way, the existence of minimal $((4,q,2))_q$ permutation-invariant codes is reduced to a parity-dependent edge-coloring problem on $K_q$.
• Abstract（参考訳）: 対称部分空間 $\mathrm{Sym}^n(\mathbb{C}^q) $ of $n$ qudits of local dimension $q$ で置換不変量子符号を研究する。 すべての整数 $q\geq 2$ に対して、パラメータ $((4,q,2))_q$ で置換不変のコードを構築します。 したがって、4つの物理キューディットは、すべての局所次元の対称セクターにおいて距離2の1つの論理キューディットを符号化するのに十分である。 また、置換不変量子符号に対する線形プログラミング制約を用いることで、$$q$の置換不変符号は存在せず、少なくとも$$2$は$\mathrm{Sym}^n(\mathbb{C}^q)$ for $n\leq 3$に存在しないことを示す。 したがって、4つのキューディットが必要で十分である。 構成は単純な表現論と組合せ的記述を持つ。 既約の $\mathrm{SU}(q)$-加群 $\mathrm{Sym}^4(\mathbb{C}^q)$ では、距離2のKnill-Laflamme 条件はルートとカルタンの部分に分けられる。 偶発的な占有層へのサポートを制限することで、すべてのルートエラー条件が自動的に消滅する。 残りのカルタン条件は、占有ベクトルのパケット上の線形平衡制約に還元される。 これらのパケットは、完全グラフの頂点と辺の点で自然なグラフ理論の解釈を持つ:$K_q$: 奇数$q$の場合、それらは中間点規則によって構成され、$q$であっても、$K_q$の完全マッチングへの分解によって構成される。 このように、最小の$((4,q,2))_q$置換不変符号の存在は、$K_q$上のパリティ依存のエッジカラー問題に還元される。

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