論文の概要: Taming the Loss Landscape of PINNs with Noisy Feynman-Kac Supervision: Operator Preconditioning and Non-Asymptotic Error Bounds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.00643v1
• Date: Sat, 30 May 2026 09:38:48 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-02 21:34:28.571423
• Title: Taming the Loss Landscape of PINNs with Noisy Feynman-Kac Supervision: Operator Preconditioning and Non-Asymptotic Error Bounds
• Title（参考訳）: Noisy Feynman-Kac SupervisionによるPINNの失われた景観のモデリング:オペレータプレコンディショニングと非漸近的エラー境界
• Authors: Nathanael Tepakbong, Hanyu Hu, Chengyu Liu, Xiang Zhou,
• Abstract要約: 我々は,標準残差および境界損失に対して,領域内の数点に付加される点データ忠実度項を付加したPINNについて検討した。 ファインマン・カック表現を許容する広いクラスのPDEに対して、FK関数のモンテカルロ平均によってそのようなラベルを生成する。 FK-PINNは、標準のPINNが深刻な障害モードを示すPDEをうまく解決できることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.5614376123442484
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Physics-Informed Neural Networks (PINNs) often train slowly or fail to converge on challenging partial differential equations (PDEs), a behavior recently linked to severely ill-conditioned loss landscapes inherited from the underlying differential operator. We study PINNs augmented with a pointwise data-fidelity term, added at a few points in the domain to the standard residual and boundary losses. We show that this supervision term acts as an operator-level preconditioner: for suitable weights, our comparison bounds guarantee a substantially smaller condition number than under the standard PINN loss, independently of how the pointwise labels are obtained. For a broad class of PDEs admitting a Feynman-Kac (FK) representation, we generate such labels by Monte Carlo averages of the FK functional, resulting in what we call ``FK-PINNs", and using the excess risk decomposition approach, we derive non-asymptotic $L^2(Ω)$-error bounds for FK-PINNs with $\tanh$ activation trained by finitely many steps of gradient descent. Along the way, we establish pseudo-dimension bounds for first- and second-order derivatives of $\tanh$ neural networks, which are of independent interest and, to the best of our knowledge, new. Numerical experiments on Poisson, Schrödinger, mean exit time, and committor problems corroborate the theory, and show that FK-PINNs can successfully solve PDEs for which standard PINNs exhibit severe failure modes.
• Abstract（参考訳）: 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)は、しばしば、基礎となる微分作用素から引き継がれた悪条件な損失ランドスケープに結びついている、挑戦的な偏微分方程式(PDE)にゆっくりとトレーニングするか、収束するのに失敗する。 我々は,標準残差および境界損失に対して,領域内の数点に付加される点データ忠実度項を付加したPINNについて検討した。 我々は,この監督項が演算子レベルのプレコンディショナーとして機能していることを示し,適切な重み付けに対して,比較境界は,点ラベルの取得方法とは無関係に,標準PINN損失よりも格段に少ない条件数を保証する。 ファインマン・カック(FK)表現を許容するPDEの幅広いクラスに対して、FK関数のモンテカルロ平均によるそのようなラベルを生成し、その結果、'FK-PINNs'と呼ばれるものを生成し、過剰なリスク分解アプローチを用いて、FK-PINNの非漸近的$L^2(Ω)$-error境界を導出する。 その過程で、我々は1階および2階の$\tanh$のニューラルネットワークの擬似次元境界を確立する。 Poisson, Schrödinger, mean exit time, and committor problem の数値実験により、FK-PINNは、標準のPINNが深刻な故障モードを示すPDEを解くことができることを示した。

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