論文の概要: Simultaneous CNN Approximation on Manifolds with Applications to Boundary Value Problems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2605.04126v1
• Date: Tue, 05 May 2026 15:35:24 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-05-07 18:41:07.452892
• Title: Simultaneous CNN Approximation on Manifolds with Applications to Boundary Value Problems
• Title（参考訳）: 多様体上のCNN同時近似と境界値問題への応用
• Authors: Hanfei Zhou, Lei Shi,
• Abstract要約: 本稿では,並列近似と楕円境界値問題に対する畳み込みニューラルネットワーク(CNN)手法を提案する。 シングルチャネルCNNとマルチチャネルCNNの同時ソボレフ近似結果を確立する。 境界値問題に特化して設計された物理インフォームドCNNフレームワークを提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.815765641180636
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: This paper develops convolutional neural network (CNN) methods for simultaneous approximation and elliptic boundary value problems on compact Riemannian manifolds. We establish simultaneous Sobolev approximation results for single- and multichannel CNNs, showing that manifold functions and their derivatives can be approximated with rates governed by the intrinsic dimension and the smoothness gap, rather than by the ambient dimension, thereby mitigating the curse of dimensionality. Building on this approximation theory, we propose a physics-informed CNN (PICNN) framework specially designed for boundary value problems. The main numerical issue is a boundary-norm mismatch: standard PINNs usually impose boundary data through low-order, often L2-type, penalties, whereas elliptic stability requires Sobolev trace control. We address this by introducing a spectral boundary loss based on the boundary Laplace-Beltrami operator, which represents trace errors as weighted frequency energies and relates truncation error to boundary eigenvalue decay. This avoids smooth auxiliary constructions required by exact boundary enforcement and singular double integrals arising in Sobolev-Slobodeckij penalties, while enabling implementations based on Fast Fourier Transforms (FFTs) or precomputed spectral bases on structured boundaries. Numerical experiments demonstrate improved accuracy, convergence, and stability over standard PINNs.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,コンパクトリーマン多様体上での同時近似と楕円境界値問題に対する畳み込みニューラルネットワーク(CNN)法を提案する。 単チャネルCNNと多チャネルCNNの同時ソボレフ近似結果を確立し、多様体関数とその導関数は、周囲次元よりも内在次元と滑らかさギャップに支配される速度で近似できることを示し、次元の呪いを緩和する。 この近似理論に基づいて,境界値問題に特化して設計された物理インフォームドCNN(PICNN)フレームワークを提案する。 標準PINNは通常、低次、L2型、ペナルティを通じて境界データを強制するが、楕円安定性はソボレフトレース制御を必要とする。 本稿では, トラスト誤差を重み付き周波数エネルギーとして表し, トルーニケーション誤差と境界固有値減衰を関連づける境界ラプラス・ベルトラミ演算子に基づくスペクトル境界損失を導入することにより, この問題に対処する。 これにより、Sobolev-Slobodeckij の刑罰における厳密な境界強制と特異な二重積分によるスムーズな補助構造が回避され、高速フーリエ変換(FFT)や構造化境界上の事前計算スペクトルベースに基づく実装が可能となる。 数値実験により,標準PINNの精度,収束性,安定性が向上した。

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