論文の概要: Effective Dimensionality as an Operator Invariant for Physics-Preserving Constraint Adaptation in Physics-Informed Neural Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.06171v1
• Date: Thu, 04 Jun 2026 13:41:25 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-06 06:55:34.671059
• Title: Effective Dimensionality as an Operator Invariant for Physics-Preserving Constraint Adaptation in Physics-Informed Neural Networks
• Title（参考訳）: 物理インフォームドニューラルネットワークにおける物理保存制約適応のための演算子不変量としての有効次元
• Authors: Cornelius Otchere, Michael Shields,
• Abstract要約: 物理インフォームドニューラルネットワークは、共有パラメータ空間に依存するため、本質的にタスク干渉に悩まされる。 我々は、この構造的衝突をFisher Information Matrixを用いて分析し、有効自由度を定量化する。 この特徴に基づいて,境界適応のための部分空間投影戦略を導入する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Physics-Informed Neural Networks inherently suffer from task interference because they rely on a shared parameter space to satisfy both governing differential equations and boundary conditions. We analyze this structural conflict using the Fisher Information Matrix to quantify the effective degrees of freedom ($d_{eff}$) in a physics-constrained model. Unlike the classical $d_{eff}$ which measures how many parameter directions are informed by data against a statistical prior, our $d_{eff}$ measures the dimension of the parameter directions unconstrained by the differential operator. For operators with finite-dimensional kernel, we show that $d_{eff}$ converges to the kernel dimension exactly, independent of network width, depth, or activation function, recasting it from a fit diagnostic into a structural invariant of the underlying continuous operator. For operators with infinite-dimensional kernel, $d_{eff}$ instead measures the network's finite-dimensional representational bandwidth for that kernel rather than recovering an integer invariant. Importantly, $d_{eff}$ also serves as an a priori structural diagnostic. Driving $d_{eff}$ of a well-posed problem to zero certifies that the physics and boundary constraints have absorbed the network's free directions. Building on this characterization, we introduce subspace projection strategies for boundary adaptation. Rather than retraining from scratch, we project parameter updates into the null space of the pre-trained physics operator so that new boundary conditions are satisfied without disturbing the learned physics. Gradient-based fine-tuning can match or exceed this but needs more wall-clock time and tuning, whereas subspace projection delivers near-equivalent quality in seconds to minutes. We validate on linear and nonlinear operators, demonstrating accurate adaptation to initial and boundary shifts and unencountered constraint types.
• Abstract（参考訳）: 物理インフォームドニューラルネットワークは、支配的な微分方程式と境界条件の両方を満たすために共有パラメータ空間に依存するため、本質的にタスク干渉に悩まされる。 この構造的矛盾をフィッシャー情報行列を用いて解析し、物理制約モデルにおける有効自由度(d_{eff}$)を定量化する。 従来の$d_{eff}$とは違って、パラメータ方向の次元は微分演算子によって制約されない。 有限次元核を持つ作用素に対して、$d_{eff}$ はネットワーク幅、深さ、活性化関数とは独立に、正確にカーネル次元に収束し、それを適合診断から基礎となる連続作用素の構造不変量に再キャストすることを示す。 無限次元のカーネルを持つ作用素に対しては、$d_{eff}$は整数不変量を取り戻すのではなく、そのカーネルに対するネットワークの有限次元表現帯域幅を測定する。 重要なことに、$d_{eff}$は事前構造診断としても機能する。 d_{eff}$をゼロにすると、物理と境界の制約がネットワークの自由方向を吸収したことが証明される。 この特徴に基づいて,境界適応のための部分空間投影戦略を導入する。 スクラッチからリトレーニングする代わりに、事前訓練された物理演算子のnull空間へのパラメータ更新を計画し、学習された物理を邪魔することなく、新しい境界条件を満たすようにした。 グラディエントベースの微調整は、これと一致したり、超えたりできるが、ウォールタイム時間とチューニングが必要であり、サブスペースプロジェクションは数秒から数分でほぼ等価な品質を提供する。 線形および非線形演算子について検証し、初期および境界シフトおよび未計算制約タイプへの正確な適応を示す。

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