論文の概要: Intrinsic Riemannian Cross-covariance for Manifold-valued Random Objects

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.10212v2
• Date: Wed, 10 Jun 2026 17:56:45 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-11 14:23:44.382969
• Title: Intrinsic Riemannian Cross-covariance for Manifold-valued Random Objects
• Title（参考訳）: Manifold-valued Random Objects の固有リーマン交叉共分散
• Authors: Carlos Soto, Cheng Wang, Yujing Huang, Xiaoyu Chen,
• Abstract要約: 本稿では,多様体値のランダムオブジェクトに対する固有リーマン交叉共分散を提案する。 提案手法は, 共分散と相関を, 局所的変動を平行輸送により共通接空間に伝達することによって定義する。 提案された共分散は、ユークリッド対の望ましい性質を継承し、その挙動を特徴づける。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.722667861696959
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Covariance estimation yields a fundamental second-order statistic underlying representation learning, dimension reduction, and dependence modeling. While covariance has been well understood in Euclidean spaces, it is ill-defined for random objects residing on nonlinear Riemannian manifolds, which increasingly arise in modern machine learning applications involving shapes, symmetric positive definite (SPD) matrices, etc. This paper introduces an intrinsic Riemannian cross-covariance for manifold-valued random objects. Our approach defines covariance and correlation by transporting local variations to a common tangent space via parallel transport, yielding a second-order descriptor that is independent of arbitrary coordinate choices. We establish that the proposed covariance inherits desirable properties of its Euclidean counterparts and characterize its asymptotic behavior. Numerical studies on spheres and SPD manifolds, together with real-data experiments on heart valve shapes in Kendall's shape space, demonstrate the effectiveness of our estimators and verify the stated properties. Our results position the Riemannian covariance as a fundamental tool for second-order learning and analysis in non-Euclidean representation spaces.
• Abstract（参考訳）: 共分散推定は、基本的な2次統計学的な表現学習、次元の縮小、依存モデリングをもたらす。 共分散はユークリッド空間ではよく理解されているが、非線型リーマン多様体上に存在するランダムな対象に対しては不定義である。 本稿では,多様体値のランダムオブジェクトに対する固有リーマン交叉共分散を提案する。 提案手法は, 任意の座標選択に依存しない2階記述子を生成するために, 共通接空間への局所的変動を並列輸送により伝達することにより, 共分散と相関を定義する。 提案した共分散はユークリッド対の望ましい性質を継承し、その漸近的挙動を特徴づける。 球面とSPD多様体の数値的研究と、ケンドールの形状空間における心臓弁形状の実データ実験は、我々の推定器の有効性を実証し、その特性を検証した。 本結果は,非ユークリッド表現空間における2次学習と解析の基本的なツールとして,リーマン共分散を位置づけたものである。

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