論文の概要: Physics-Informed Neural Networks and Radial Basis Functions for PDEs with Dirac Delta Sources

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.12735v1
• Date: Wed, 10 Jun 2026 22:53:43 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-06-12 15:55:27.494165
• Title: Physics-Informed Neural Networks and Radial Basis Functions for PDEs with Dirac Delta Sources
• Title（参考訳）: ディラックデルタ源を用いたPDEのための物理インフォームニューラルネットワークと放射基底関数
• Authors: Manuel Reyna, Alexandre Tartakovsky,
• Abstract要約: PINNをResidual Least Squares (RLS) 法として利用し、この観点からディラックデルタ項を直接扱うことができることを示す。 PINN における Dirac デルタの統合は残差をゼロに収束させるのに失敗するが、RBF-RLS は輸送問題に対する優れた前方および逆解を一貫して提供する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 46.07145155913717
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Physics-Informed Neural Networks (PINNs) are a machine learning method for solving forward and inverse Partial Differential Equations (PDEs). When applied to PDEs with Dirac delta functions in the forcing terms, boundary conditions, or initial conditions, PINNs require approximating them with smooth surrogate functions, a practice that can introduce significant modeling errors. In this work, we exploit the interpretation of PINNs as Residual Least Squares (RLS) methods and show that this perspective enables direct treatment of Dirac delta terms by integrating the weak-form equation. Among RLS formulations other than PINN, we focus on the Radial Basis Function (RBF) expansion (also known as a single-layer RBF Network). We show that while integrating out the Dirac delta in PINNs causes residuals to fail to converge to zero, RBF-RLS consistently provides good forward and inverse solutions to transport problems. We explain this finding using the Neural Tangent Kernel (NTK) theory. We test both approaches on linear PDEs that represent groundwater flow and transport in porous media and rivers. We solve inverse problems to fit synthetic data, noisy synthetic data, and real-world measurements.
• Abstract（参考訳）: 物理インフォームドニューラルネットワーク(英: Physics-Informed Neural Networks, PINN)は、PDE(Parial Differential Equations)を解く機械学習手法である。 ディラックデルタ関数を強制条件、境界条件、初期条件で適用する場合、PINNはそれらをスムーズな代理関数で近似する必要がある。 本研究では, PINNをResidual Least Squares (RLS) 法として解釈し, 弱形式方程式を統合することにより, ディラックデルタ項の直接処理を可能にすることを示す。 PINN以外のRSSの定式化では、放射基底関数(RBF)の拡張(単一層RBFネットワークとも呼ばれる)に焦点を当てる。 PINN における Dirac デルタの統合は残差をゼロに収束させるのに失敗するが、RBF-RLS は輸送問題に対する優れた前方および逆解を一貫して提供する。 我々はこの発見をニューラル・タンジェント・カーネル(NTK)理論を用いて説明する。 多孔質流路や河川における地下水流動と輸送を表わす線形PDEの両手法を検証した。 我々は、合成データ、ノイズの多い合成データ、実世界の測定に適合する逆問題を解決する。

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