論文の概要: The Cost Geometry of Belief: finite-resource inference under noisy observation
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.21585v3
- Date: Wed, 24 Jun 2026 10:01:43 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-06-25 17:05:29.978786
- Title: The Cost Geometry of Belief: finite-resource inference under noisy observation
- Title（参考訳）: 信仰のコスト幾何学:雑音観測による有限資源推定
- Abstract要約: 機械のデジタル双対である有限エージェントは、有限センサーを通してのみ、固定されたノイズの多い世界を見るので、そのコヒーレントな出力はポイントではなく信念である。
私たちはこの有限性を幾何学に変える:信仰コスト幾何学、それが心を変えるのに必要なものの幾何学である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.6345523830122167
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: A finite agent, a machine's digital twin, or any bounded reasoner, sees a fixed, noisy world only through finite sensors, so its coherent output is not a point but a belief: a probability density over states (the Bayes posterior). Certainty is denied twice, by observation (Cramer-Rao) and by physics (Landauer), both diverging at the boundary where the Fisher information blows up. We turn this finiteness into geometry: belief-cost geometry, the geometry of what it costs to change one's mind. The cost metric is optimal transport in Wasserstein space, conformally reweighted by Fisher information (the price of the precision at stake), $\tilde g_{e,U}=2(e+U)\,g_{W_2}$ with relief $U$. It rests on two posed postulates: that revision cost is a scalar price on transport (the arena), and that the price is honest, one nat costs the same length everywhere (eikonal). Honesty selects the Fisher reweighting because transport demotes the Fisher information from the metric ruler of distinguishability (its role in Fisher-Rao information geometry) to the slope of entropy. Three results follow on the conformal class: a wall, a well-posed inference pushes certainty to infinite cost-distance once the relief dominates the Fisher information (necessity conjectured beyond power laws); an honest family, the eikonal price is equivalent to $U=cJ$, the Fisher family; and a rigidity (essentially location-scale), these geometries are hyperbolic and the Stam bound crowns the Gaussian as the most hyperbolic location-scale belief (ranking at $e=0$), the value $-1/4$ being one image of a relativity of cost. The cost of reaching a given precision then has a geometric floor diverging at certainty. Thermodynamics fixes the cost unit (one nat costs $k_BT$ at the wall) and motivates the framework; the results are geometric, in nats.
- Abstract（参考訳）: 有限エージェント、機械のデジタル双対、あるいは任意の有界理性器は有限センサーを通してのみ、固定されたノイズの多い世界を見るので、そのコヒーレントな出力は点ではなく、状態に対する確率密度(ベイズ後部)である。
確実性は観測(クラマー・ラオ)と物理学(ランダウアー)によって2回否定され、どちらもフィッシャー情報が爆発する境界線で発散する。
私たちはこの有限性を幾何学に変える:信仰コスト幾何学、それが心を変えるのに必要なものの幾何学である。
コストメートル法はワッサーシュタイン空間における最適輸送であり、フィッシャー情報(利得の精度の価格)と$\tilde g_{e,U}=2(e+U)\,g_{W_2}$で共用される。
改定費用は輸送のスカラー価格(アリーナ)であり、正直なところ、1ナットは至る所で同じ長さ(エコノニカル)である。
輸送がフィッシャー情報を区別可能性のメートル法支配者(フィッシャー・ラオ情報幾何学における役割)からエントロピーの傾斜に分解するため、フィッシャーの重み付けを選択する。
3つの結果が共形類で従う: 壁、よく仮定された推論は、救済がフィッシャー情報(電力法を超えて予想される必要条件)を支配すれば、確実さを無限のコスト距離に押し上げる 正直なファミリーは、エイコナル価格が$U=cJ$、フィッシャーファミリー、剛性(厳密には位置スケール)、これらのジオメトリは双曲的であり、スタム境界は、ガウスを最も双曲的な位置スケールの信念(e=0$)として冠し、その値は$1/4$であり、コストの相対性の1つの像である。
所定の精度に達するコストは、幾何的な床が確実に変動する。
Thermodynamicsはコスト単位を(壁において1Natが$k_BT$)修正し、フレームワークを動機付けます。
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