論文の概要: Kernel-based Operator Learning: Error Analysis, Budget Allocation, and a Physics-Informed Extension
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.06287v1
- Date: Tue, 07 Jul 2026 13:56:20 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-07-08 21:24:51.541631
- Title: Kernel-based Operator Learning: Error Analysis, Budget Allocation, and a Physics-Informed Extension
- Title（参考訳）: カーネルに基づく演算子学習:誤差解析,予算配分,物理インフォームド拡張
- Abstract要約: カーネルベースの演算子学習を2段階サンプリングフレームワークで研究する。
オフラインカーネル回帰演算子は、入力出力対からターゲット演算子の離散化表現を学習する。
オンラインカーネル再構築オペレータは、予測された観測から出力関数を復元する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We study kernel-based operator learning in a two-stage sampling framework, where an offline kernel regression operator learns a discretized representation of the target operator from input-output pairs and an online kernel reconstruction operator recovers the output function from predicted observations. Our main theoretical contribution is an explicit budget allocation condition relating the number $N$ of training pairs, the number $n$ of input observations, and the output resolution $m$. The condition is derived from a coupled error analysis that interprets the surrogate as a reconstruction from approximate data. This yields a decomposition of the total error into reconstruction and learning contributions that can be analyzed independently. As a consequence, we obtain quantitative scaling laws describing how $N$, $n$, and $m$ must be coupled to guarantee convergence and to balance offline learning and online reconstruction errors. The resulting estimates extend previous analyses of kernel-based operator learning. We further introduce a physics-informed extension that incorporates knowledge of the underlying PDE at evaluation time. Rather than encoding constraints directly into the kernel, we augment the online reconstruction step by penalizing PDE residuals at collocation points. The method requires no retraining for new inputs. Numerical experiments illustrate the theoretical findings and demonstrate the effectiveness of the proposed physics-informed reconstruction strategy.
- Abstract（参考訳）: そこで、オフラインカーネル回帰演算子が入力出力ペアから対象演算子の離散表現を学習し、オンラインカーネル再構成演算子が予測された観測結果から出力関数を復元する。
我々の理論的な主な貢献は、トレーニングペア数$N$、入力観測数$n$、出力解像度$m$に関する明確な予算割り当て条件である。
この条件は、近似データからサロゲートを再構成として解釈する結合誤差解析から導かれる。
これにより、総誤差の分解を、独立して分析できる再構築と学習の貢献に分解する。
その結果,N$,$n$,$m$が収束を保証するためにどのように結合されなければならないか,オフライン学習とオンライン再構築エラーのバランスをとるために,定量的なスケーリング法則が得られた。
得られた推定値は、カーネルベースの演算子学習の以前の分析を延長する。
さらに、評価時に基礎となるPDEの知識を取り入れた物理インフォームド拡張を導入する。
カーネルに直接制約をエンコードするのではなく、コロケーションポイントでPDE残基をペナル化することで、オンライン再構築のステップを強化する。
新たな入力に対する再トレーニングは不要である。
数値実験は、理論的な結果を示し、提案した物理インフォームド再構成戦略の有効性を実証する。
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