論文の概要: Gauge-Invariant Learnable Spectral Positional Encodings for Directed Graphs via Hermitian Block Krylov Subspaces
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.07032v1
- Date: Wed, 08 Jul 2026 06:05:54 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-07-09 22:50:30.289224
- Title: Gauge-Invariant Learnable Spectral Positional Encodings for Directed Graphs via Hermitian Block Krylov Subspaces
- Title（参考訳）: エルミートブロッククリロフ部分空間による方向性グラフのゲージ不変可換スペクトル位置符号化
- Authors: Jiaqing Xie, Yuxin Wang,
- Abstract要約: エンプグラフのスペクトル位置符号化は2つの障害に直面している。
磁性ラプラシアンはポテンシャルごとに$O(n3)$エルミート固有分解を必要とする。
ここでは、a_q$が正規化磁気演算子であるような、学習可能なスペクトルPEを$h_(A_q),R$として提案する。
PE は作用素のEmphmatrix関数であるため、構成によってゲージ不変である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.46261341603246
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Spectral positional encodings (PEs) for \emph{directed} graphs face two obstacles: magnetic Laplacians require an $O(n^3)$ Hermitian eigendecomposition per potential, and their complex eigenvectors are defined only up to unitary gauge, which prior work handles with basis-invariant architectures. We propose learnable spectral PEs of the form $h_θ(A_q)\,R$, where $A_q$ is a normalized magnetic operator, $h_θ$ a learnable scalar spectral response, and $R$ a block of random probes. Because the PE is a \emph{matrix function} of the operator, it is gauge-invariant by construction. We compute it in a Hermitian block Krylov subspace from sparse matrix--vector products only, prove that $k = O(\log(1/\varepsilon))$ block steps suffice uniformly over heat--resolvent response families, and give a covering-number argument for why low-dimensional structured families generalize where free per-eigenvalue weights overfit. On a directed SBM whose symmetrization is uninformative by construction, direction-blind PEs stay at chance while magnetic Krylov PEs converge to the exact-eigendecomposition oracle as the depth grows. The same probes yield gauge-invariant pairwise features with $1/\sqrt{s}$ Monte-Carlo error, and the undirected $q{=}0$ case improves heterophilous benchmarks over no-PE and polynomial baselines.
- Abstract（参考訳）: 磁気ラプラシアンはポテンシャルに対して$O(n^3)$エルミート固有分解を必要とし、それらの複素固有ベクトルは単位ゲージにのみ定義され、以前の作業は基底不変アーキテクチャで扱う。
学習可能なスペクトルPEは$h_θ(A_q)\,R$で、ここでは$A_q$は正規化磁気演算子、$h_θ$は学習可能なスカラースペクトル応答、$R$はランダムプローブのブロックである。
PE は作用素の \emph{matrix function} であるため、構成によってゲージ不変である。
これをスパース行列-ベクトル積のみからエルミートブロッククリロフ部分空間で計算し、$k = O(\log(1/\varepsilon))$ブロックステップが熱分解応答族に対して一様であることを証明し、なぜ低次元構造族が自由固有値重みが過剰な場所で一般化されるのかを被覆数で議論する。
配向SBMにおいて、構造によって対称性が不変である場合、方向盲PEは偶然に留まるが、磁性クリャロフPEは深さが大きくなるにつれて正確な固有分解オラクルに収束する。
同じプローブは1/\sqrt{s}$ Monte-Carloの誤差でゲージ不変のペアワイズ特性を出力し、無向の$q{=}0$の場合、非PEおよび多項式ベースラインよりも異方性ベンチマークを改善する。
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