論文の概要: Sharp Concentration Bounds for Bundle-Valued Statistics on Manifolds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.10592v1
• Date: Sun, 12 Jul 2026 06:11:31 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-14 15:40:48.476387
• Title: Sharp Concentration Bounds for Bundle-Valued Statistics on Manifolds
• Title（参考訳）: 多様体上の束値統計量に対するシャープ濃度境界
• Abstract要約: 我々は、輸送された経験的手段に対する非漸近的な濃度理論を開発する。 このバイアスを束曲率とループ幾何学を用いて定量化し定量化する。 我々は、重みの下で最適な速度を達成するための頑健な平均中央値推定器を確立する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 19.099044165107696
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Many geometric statistics and manifold learning pipelines routinely produce observations -- such as tangent vectors or local frames -- whose natural home is a varying family of fibers attached to different points of a base manifold, rather than a single shared vector space. Forming empirical averages requires transporting these observations to a common reference fiber, thereby introducing curvature- and holonomy-driven effects that are absent from classical concentration theory. We develop a non-asymptotic concentration theory for such transported empirical means, deriving finite-sample, dimension-free Hoeffding- and Bernstein-type bounds via sharp Hilbert-space inequalities. When shortest paths to the reference point are non-unique, transport becomes path-dependent and introduces a deterministic holonomy bias; we isolate and quantify this bias through bundle curvature and loop geometry, with sharp closed-form formulas for the tangent bundle of a round sphere. The resulting bias-variance decomposition separates the stochastic fluctuation decaying at the classical $n^{-1/2}$ rate in sample size $n$, from a curvature-driven error floor that no amount of additional data can eliminate; minimax lower bounds confirm both terms are unavoidable. We further establish a robust median-of-means estimator achieving optimal rates under heavy tails and the central limit theorem in the reference fiber. Controlled experiments on the sphere validate all theoretical predictions.
• Abstract（参考訳）: 多くの幾何学統計学や多様体学習パイプラインは、接ベクトルや局所フレームのような観測を日常的に生成するが、その自然な家庭は、単一の共有ベクトル空間ではなく、基底多様体の異なる点に付随する繊維の様々な族である。 経験的平均を形成するには、これらの観測結果を共通の基準ファイバーに輸送する必要があるため、古典的な濃度理論にはない曲率やホロノミーによる効果を導入する必要がある。 このような輸送された経験的手段に対する漸近的ではない濃度理論を開発し、鋭いヒルベルト空間の不等式を通して有限サンプル、次元自由なホーフディング、バーンスタイン型境界を導出する。 基準点への最短経路が非一様である場合、輸送は経路依存となり、決定論的ホロノミーバイアスを導入し、このバイアスを円球の接束に対する鋭い閉形式公式を用いて、束曲率とループ幾何学を通して分離し、定量化する。 結果として生じるバイアス分散の分解は、古典的な$n^{-1/2}$レートの確率的ゆらぎの崩壊を、追加データを排除できない曲率駆動の誤差フロアから$n$で分離する。 さらに、重みの下での最適速度と基準ファイバーにおける中心極限定理を達成する頑健な平均中央値推定器を確立する。 球面上の制御された実験は、すべての理論的予測を検証する。

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