論文の概要: Adaptive Probability Flow Residual Minimization for High-Dimensional Fokker-Planck Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2512.19196v2
• Date: Mon, 29 Dec 2025 13:19:44 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-12-30 16:57:35.442673
• Title: Adaptive Probability Flow Residual Minimization for High-Dimensional Fokker-Planck Equations
• Title（参考訳）: 高次元フォッカー・プランク方程式に対する適応確率フロー残差最小化
• Authors: Xiaolong Wu, Qifeng Liao,
• Abstract要約: 高次元のフォッカー・プランク方程式を解くことは、計算物理学と力学の課題である。 物理情報ニューラルネットワークのような既存のディープラーニングアプローチは、次元が増加するにつれて計算上の課題に直面している。 本稿では,適応確率フロー残差最小化法(A-PFRM)を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 14.22534820071447
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Solving high-dimensional Fokker-Planck (FP) equations is a challenge in computational physics and stochastic dynamics, due to the curse of dimensionality (CoD) and the bottleneck of evaluating second-order diffusion terms. Existing deep learning approaches, such as Physics-Informed Neural Networks, face computational challenges as dimensionality increases, driven by the $O(d^2)$ complexity of automatic differentiation for second-order derivatives. While recent probability flow approaches bypass this by learning score functions or matching velocity fields, they often involve serial operations or depend on sampling efficiency in complex distributions. To address these issues, we propose the Adaptive Probability Flow Residual Minimization (A-PFRM) method. We reformulate the second-order FP equation into an equivalent first-order deterministic Probability Flow ODE (PF-ODE) constraint, which avoids explicit Hessian computation. Unlike score matching or velocity matching, A-PFRM solves this problem by minimizing the residual of the continuity equation induced by the PF-ODE. We leverage Continuous Normalizing Flows combined with the Hutchinson Trace Estimator to reduce the training complexity to linear scale $O(d)$, achieving an effective $O(1)$ wall-clock time on GPUs. To address data sparsity in high dimensions, we apply a generative adaptive sampling strategy and theoretically prove that dynamically aligning collocation points with the evolving probability mass is a necessary condition to bound the approximation error. Experiments on diverse benchmarks -- ranging from anisotropic Ornstein-Uhlenbeck (OU) processes and high-dimensional Brownian motions with time-varying diffusion terms, to Geometric OU processes featuring non-Gaussian solutions -- demonstrate that A-PFRM effectively mitigates the CoD, maintaining high accuracy and constant temporal cost for problems up to 100 dimensions.
• Abstract（参考訳）: 高次元フォッカー・プランク方程式(Fokker-Planck equations, FP)を解くことは、次元性(CoD)の呪いと二階拡散項の評価のボトルネックにより、計算物理学と確率力学における課題である。 物理情報ニューラルネットワークのような既存のディープラーニングアプローチでは、次元が増加するにつれて計算上の課題に直面している。 近年の確率フローは、スコア関数や速度場を学習することでこれを回避しているが、シリアル演算や複雑な分布のサンプリング効率に依存することが多い。 これらの問題に対処するために,適応確率フロー残留最小化法(A-PFRM)を提案する。 本研究では, 2次FP方程式を等価な1次決定論的確率フローODE (PF-ODE) の制約に再構成する。 スコアマッチングやベロシティマッチングとは異なり、A-PFRMはPF-ODEによって誘導される連続性方程式の残差を最小化することでこの問題を解決する。 我々はHutchinson Trace Estimatorと組み合わせた連続正規化フローを利用して、トレーニングの複雑さを線形スケールの$O(d)$に削減し、GPU上で有効な$O(1)$ウォールクロック時間を達成する。 高次元におけるデータの分散性に対処するために、生成的適応サンプリング戦略を適用し、近似誤差をバウンドするために必要な条件として、コロケーション点を進化確率質量に動的に整合させることを理論的に証明する。 異方性Ornstein-Uhlenbeck(OU)プロセスや時間変化の拡散項を持つ高次元ブラウン運動から、非ガウス解を含む幾何学的OUプロセスまで、様々なベンチマークの実験は、A-PFRMがCoDを効果的に軽減し、100次元までの問題に対して高い精度と時間的コストを維持することを実証している。

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