論文の概要: Energy Manifold Natural Gradient Descent: Riemannian Optimization for Neural PDE Solvers

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.22004v1
• Date: Fri, 24 Jul 2026 06:07:14 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-27 20:58:57.056782
• Title: Energy Manifold Natural Gradient Descent: Riemannian Optimization for Neural PDE Solvers
• Title（参考訳）: エネルギーマニフォールド自然勾配明度:ニューラルPDE解のリーマン最適化
• Abstract要約: エネルギー自然勾配降下(ENGD)は、パラメータ更新を基礎となる関数空間エネルギーの曲率と整合させる。 本稿では,物理インフォームドおよび変分型ニューラルPDEソルバのための多様体最適化フレームワークEMNGDfullを紹介する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.24554686192257416
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Energy natural gradient descent (ENGD) aligns parameter updates with the curvature of an underlying function-space energy, but existing formulations assume an unconstrained Euclidean parameter domain. We introduce \EMNGDfull{}, a manifold optimization framework for physics-informed and variational neural PDE solvers whose parameters lie on a Riemannian manifold. EMNGD restricts the energy-induced quadratic model to feasible tangent directions and uses retractions to preserve parameter constraints throughout optimization. Under coercivity, we prove that the push-forward of the undamped EMNGD direction is the best feasible approximation to the function-space Newton vector in the energy metric. We establish coordinate invariance, exact reduction to ENGD in Euclidean space, global first-order convergence with Armijo backtracking, and robustness to inexact tangent solves. For quadratic residual energies and generalized Gauss--Newton pullbacks, the Woodbury identity transfers the tangent system to sample space without changing the direction. Nyström approximation provides scalable sample-space solves with controlled direction error and recovers the exact direction after iterative convergence. On the evaluated neural PDE benchmarks, EMNGD achieves higher accuracy and faster convergence than the compared state-of-the-art baselines. Woodbury preserves the EMNGD direction, while scalable-solver diagnostics quantify the accuracy--cost trade-off of preconditioning and residual subsampling.
• Abstract（参考訳）: エネルギー自然勾配降下(ENGD)は、基底となる関数空間エネルギーの曲率とパラメータの更新を一致させるが、既存の定式化は制約のないユークリッドパラメータ領域を仮定する。 我々は、リーマン多様体上のパラメータを持つ物理インフォームドおよび変分型ニューラルPDEソルバのための多様体最適化フレームワークである \EMNGDfull{} を紹介する。 EMNGDはエネルギー誘起二次モデルを実現可能な接順に制限し、最適化全体を通してパラメータ制約を保存するためにリトラクションを使用する。 保磁力の下では、損傷のないEMNGD方向のプッシュフォワードがエネルギーメートル法における関数空間ニュートンベクトルの最適近似であることを示す。 我々は、座標不変性、ユークリッド空間におけるENGDへの正確な還元、Armijoのバックトラックによる大域的一階収束、および不正確な接解に対するロバスト性を確立する。 二次残留エネルギーと一般化されたガウス-ニュートンの引き戻しに対して、ウッドベリー恒等式は方向を変えずに接系をサンプル空間に移す。 Nyström近似は、制御方向誤差によるスケーラブルなサンプル空間の解を提供し、反復収束後の正確な方向を復元する。 評価されたニューラルPDEベンチマークでは、EMNGDは比較された最先端のベースラインよりも高い精度と高速な収束を達成する。 WoodburyはEMNGDの方向を保ち、スケーラブルなソルバ診断はプリコンディショニングと残留サブサンプリングの精度とコストのトレードオフを定量化する。

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