論文の概要: Algebraic structure of Tiger codes
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.22460v1
- Date: Fri, 24 Jul 2026 16:23:36 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-07-27 20:58:57.179272
- Title: Algebraic structure of Tiger codes
- Title（参考訳）: タイガー符号の代数的構造
- Abstract要約: タイガー符号は、以前に知られていたいくつかの構成を統一する多重モードボソニック量子符号の族を形成する。
符号の論理構造は、下層の鎖複体のホモロジーによって支配されることを示す。
4本足の猫コードや反復猫コードなどのコードを含む非線形数制約にフレームワークを拡張します。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.8292841621378844
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Tiger codes form a family of multimode bosonic quantum codes that unify several previously known constructions, including cat, paircat, and the two-mode binomial code. In this work, we give a rigorous algebraic treatment of these codes. Starting from a kernel definition of the codespace, we prove that the annihilation-type constraints admit a finite generating set, construct an explicit orthonormal basis, and show that the logical structure of the code is governed by the homology of an underlying chain complex, as expected in the original work on Tiger codes of Xu et al. We then develop a Fourier transform over the codespace to prove that the span of phase-rotated projected coherent states is dense therein, and to yield dual $X$- and $Z$-type descriptions of the code. We further extend the framework to non-linear number constraints, encompassing codes such as the four-legged cat or the repetition cat code. Finally, we investigate the implementation of logical operations. We first generalise the construction of logical Pauli operators proposed by Xu et al. to arbitrary logical spaces, and then construct non-Clifford gates using physical polynomial phase rotations of the form $e^{iP(\hat{\boldsymbol{n}})}$. We derive criteria on the real polynomial $P$ which, for positive single-logical-qubit Tiger codes satisfying an additional sign assumption, such as the paircat code, characterise the polynomials $P$ that preserve the codespace by decomposing them into a family of univariate polynomials. Through this decomposition, we relate the degrees of the resulting components to the induced logical action in the Clifford hierarchy. These results establish Tiger codes as a mathematically robust framework for describing a broad class of bosonic encodings.
- Abstract（参考訳）: タイガー符号は、猫、ペアキャット、および2モード二項符号を含む、以前に知られていたいくつかの構成を統一する多モードボソニック量子符号の族を形成する。
本稿では、これらの符号の厳密な代数的扱いについて述べる。
符号空間のカーネル定義から、消滅型制約が有限生成集合を許容し、明示的な正則基底を構築することを証明し、符号の論理構造が、Xu と al のタイガー符号の当初の研究で期待されていたように、下層の連鎖複体のホモロジーによって支配されていることを示す。
さらに、このフレームワークを非線形数制約に拡張し、4本脚の猫コードや反復の猫コードなどのコードを含む。
最後に,論理演算の実装について検討する。
まず、Xu et al によって提案された論理パウリ作用素の構成を任意の論理空間に一般化し、次に $e^{iP(\hat{\boldsymbol{n}})$ という形の物理多項式位相回転を用いて非クリフォードゲートを構成する。
実多項式$P$の基準を導出し、ペアキャット符号のような符号の仮定を満足する正の単一論理量子ビットタイガー符号に対して、それらを単変数多項式の族に分解することで符号空間を保存する多項式$P$を特徴付ける。
この分解を通じて、得られる成分の次数とクリフォード階層における帰納的論理作用を関連付ける。
これらの結果は、タイガー符号を幅広いボソニックエンコーディングのクラスを記述するための数学的に堅牢なフレームワークとして確立する。
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