論文の概要: Statistical Mechanics of Learning on Product Wasserstein Manifolds
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.01434v1
- Date: Sun, 02 Aug 2026 18:29:34 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-08-04 15:07:25.241133
- Title: Statistical Mechanics of Learning on Product Wasserstein Manifolds
- Title（参考訳）: 積ワッセルシュタイン多様体の統計的学習力学
- Abstract要約: We developed Deep Neural Network and variational quantum circuits as gradient flow on a product of Wasserstein manifold。
これらの分布的ジオメトリを尊重することで、一般化が向上し、トレーニングが安定し、バレン高原の重症度が低下することを示す。
このアプローチはまず、構造的制約を幾何学的前提として再編成し、生物学的、スペクトル、ハードウェア由来の分布情報を両方の学習システムに組み込む経路を提案する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
- Abstract: Normally the statistical mechanics of learning treats constraints on weight distributions as restrictions that shrink the space of possible solutions. Therefore, it reduces model capacity. In this paper we would like to take a contrary approach, which, however, is based on the earlier work on distribution-constrained perceptrons. Rather than treating a prescribed weight distribution as a mere restriction, we propose that it defines the intrinsic geometry upon which learning naturally unfolds. We formulate both deep neural networks and variational quantum circuits as gradient flows on a product of Wasserstein manifolds -- one classical Wasserstein space for each layer and one quantum Wasserstein space for the circuit parameters. Within this geometry, the capacity reduction, which was previously associated with distributional constraints, appears as the metric structure of the constraint manifold itself. We develop a hierarchical mean-field description for deep networks, extend the framework to the quantum setting using the quantum Wasserstein distance of order 1, and introduce two such practical algorithms, Hierarchical DisCo-SGD and Quantum DisCo, that follow approximate geodesics on the manifold of the product itself. Experiments on teacher-student problems, standard image classification tasks, and small variational quantum classifiers show that respecting these distributional geometries improves generalization, stabilizes training, and reduces the severity of barren plateaus compared with unconstrained and purely norm-based baselines. This approach firstly reframes structural constraints as geometric priors and suggests a route for incorporating biological, spectral, or hardware-derived distributional information into both learning systems, viz., classical and quantum learning.
- Abstract（参考訳）: 通常、学習の統計力学は、重量分布の制約を、可能な解の空間を縮める制約として扱う。
そのため、モデルキャパシティが低下する。
しかし,本論文では,分布制約パーセプトロンに関する初期の研究に基づいて,反対のアプローチを採りたい。
所定重量分布を単なる制約として扱うのではなく,学習が自然に展開する内在幾何学を定義することを提案する。
ディープニューラルネットワークと変分量子回路の両方をワッサーシュタイン多様体の積上の勾配流として定式化し、各層に対して古典的なワッサーシュタイン空間、回路パラメータに対して量子的なワッサーシュタイン空間を定式化する。
この幾何学の中で、以前分布的制約に関連付けられていたキャパシティ還元は、制約多様体自体の計量構造として現れる。
我々は、深層ネットワークの階層的平均場記述を開発し、このフレームワークを順番1の量子ワッサーシュタイン距離を用いて量子設定に拡張し、積の多様体上の近似測地を追従する2つの実用的なアルゴリズムである階層 DisCo-SGD と量子 DisCo を導入する。
教師学生問題、標準画像分類タスク、および小さな変分量子分類器の実験により、これらの分布幾何学の尊重は一般化を改善し、訓練を安定化し、非制約および純粋ノルムベースラインと比較してバレン高原の重症度を減少させることが示された。
このアプローチはまず、構造的制約を幾何学的前提として再設計し、生物学的、スペクトル、ハードウェア由来の分布情報を学習システム、ビズ、古典的および量子的学習の両方に組み込むための経路を提案する。
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