論文の概要: Convex Neural Energy Elements: Monolithic Finite-Element Assembly of Geometry-Parameterized Neural Operators with Stability and Error Guarantees
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.02036v1
- Date: Mon, 03 Aug 2026 10:33:34 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-08-04 15:07:25.488486
- Title: Convex Neural Energy Elements: Monolithic Finite-Element Assembly of Geometry-Parameterized Neural Operators with Stability and Error Guarantees
- Title（参考訳）: 凸型ニューラルエネルギー要素:安定性と誤差保証を有する幾何パラメータ型ニューラル演算子のモノリシック有限要素組立
- Abstract要約: 拡張するメソッドのアセンブリ保証を継承する再利用可能な要素を構築します。
楕円孔による熱伝導では、訓練された要素が2x2から8x8の格子に組み立てられ、L字型の不透明なジオメトリーの相対L2誤差は0.6-1.0%、境界量子のワークロードは175倍高速である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.159076366356856
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Extending the neural-operator element method from individually trained, fixed-geometry neural elements to a library of reusable, geometry-parameterized element types fails structurally: a field-predicting operator trained by value regression induces an energy whose assembled Hessian is indefinite, and Newton converges to spurious minima (247% error) even with 1%-accurate field predictions. We introduce convex neural energy elements: each element exports a scalar energy E(g,U), architecturally convex in its boundary degrees of freedom U and smoothly parameterized by its geometry g, realized as a hypernetwork-generated positive-semidefinite quadratic form (an input-convex correction is reserved for non-quadratic physics). A regularization-nullspace principle--the regularizer's nullspace must contain the physics nullspace--removes an otherwise irreducible bias, and assembled elements inherit the classical guarantee that singular element stiffnesses yield a positive-definite global system. We prove conditional error bounds (energy-to-solution accuracy, element-count scaling, geometry generalization) and verify each experimentally. On heat conduction with elliptic holes, one trained element assembles into 2x2 to 8x8 grids and an L-shaped layout of unseen geometries at 0.6-1.0% relative L2 error, with 175x faster per-geometry setup for boundary-quantity workloads. A second trained element type mixes freely with the first in one monolithic assembly, and a three-dimensional instantiation reaches 0.23% on eight-element assemblies--the guarantees are type- and dimension-agnostic. A plane-strain elasticity element, whose physics nullspace is three-dimensional, lands on the analytically predicted regularization floors. Making the energy the learned object turns neural operators from single-use surrogates into reusable elements that inherit the assembly guarantees of the method they extend.
- Abstract（参考訳）: 値回帰によって訓練された場予測演算子は、組み立てられたヘシアンが不確定なエネルギーを誘導し、ニュートンは1%の精度のフィールド予測でさえ、刺激的なミニマ(247%の誤差)に収束する。
各々の要素はスカラーエネルギーE(g,U)をエクスポートし、その境界度Uでアーキテクチャ上の凸を出力し、幾何学gで滑らかにパラメータ化し、超ネットワークワーク生成の正の半無限二次形式として実現する(入力凸補正は非二次物理学に予約される)。
正規化-ヌル空間の原理-正規化のヌル空間は物理学のヌル空間を含まなければならない-そうでなければ既約バイアスを取り除き、集合要素は特異要素の剛性が正定大系をもたらすという古典的な保証を継承する。
条件付き誤差境界(エネルギー対解精度、要素数スケーリング、幾何学的一般化)を証明し、それぞれ実験的に検証する。
楕円孔による熱伝導では、訓練された要素が2x2から8x8の格子に組み立てられ、L字型の不透明なジオメトリーの相対L2誤差は0.6-1.0%であり、境界量子のワークロードでは175倍高速である。
2つ目のトレーニングされた要素タイプは、1つのモノリシックアセンブリで1番目と自由に混合され、3次元のインスタンス化は8つの要素アセンブリで0.23%に達する。
平面歪弾性要素は、物理学のヌル空間が3次元であり、解析的に予測された正規化フロアに着地する。
学習対象のエネルギーを単一用途のサロゲートから再利用可能な要素に変えて、拡張するメソッドの組立保証を継承する。
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