論文の概要: Neural network realization of binary refinement iterates via a two-chart atlas selector
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.02624v1
- Date: Tue, 21 Jul 2026 14:11:16 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-08-09 10:00:34.268154
- Title: Neural network realization of binary refinement iterates via a two-chart atlas selector
- Title（参考訳）: 2文字アトラスセレクタによる二分精製イテレートのニューラルネットワークによる実現
- Abstract要約: コンパクトに支持された全ての連続分級線形種は、固定幅と深さの正確なReLU実現を線形に認める有限の精製繰り返しを持つことを示す。
この構成はまた、自然の終点整合条件を満たす全ての連続片方向線型円関数の正確な読み出しを与える。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Refinement operators generate many functions used in wavelet constructions, subdivision schemes, and geometric modeling. Their finite iterates can develop rapidly increasing numbers of linear pieces, making them a natural test case for the expressive power of deep neural networks. Earlier work showed that, for scalar binary refinement with a finitely supported mask, every compactly supported continuous piecewise linear seed has finite refinement iterates that admit exact ReLU realizations of fixed width and depth growing linearly with the number of refinement steps. The present paper gives a new construction of this known theorem. The difficulty is that the refinement cascade is driven by discontinuous binary digit choices, whereas ReLU networks produce continuous piecewise linear maps. We represent the residual dynamics on a polygonal model of the circle and describe each residual position in two overlapping coordinate systems, one ordinary and one shifted by one half. Their discontinuities occur at different points. The network switches between the two descriptions only where both are valid and the corresponding fixed linear cascade updates agree, so the switch is exact and requires no multiplication by a variable selector. The construction also gives exact readout of every continuous piecewise linear circle function satisfying the natural endpoint compatibility condition. Localized seeds are handled by a two-pass network, and translation covariance, finite decomposition, and gluing extend the result to arbitrary compactly supported continuous piecewise linear seeds in a preserved support window.
- Abstract（参考訳）: リファインメント演算子はウェーブレットの構成、分割スキーム、幾何学的モデリングで使われる多くの関数を生成する。
有限イテレートは急速に増大する線形ピースを発生させ、ディープニューラルネットワークの表現力の自然なテストケースとなる。
初期の研究では、有限支持マスクを用いたスカラー二分法では、コンパクトに支持された連続片方向線形シードは、固定幅と深さの正確なReLU実現を、精製ステップの数に応じて線形に増大させる有限精製繰り返しを有することを示した。
本稿では、この既知の定理を新たに構築する。
難点は、精製カスケードが不連続な二進数選択によって駆動されるのに対して、ReLUネットワークは連続的な分割線形写像を生成することである。
円の多角形モデル上の残留ダイナミクスを表現し、各残留位置を2つの重なり合う座標系で記述する。
それらの不連続は異なる点で起こる。
ネットワークは、両方が有効であり、対応する固定線形カスケード更新が一致している場合にのみ、2つの記述間のスイッチを切り替えるので、スイッチは正確であり、可変セレクタによる乗算は不要である。
この構成はまた、自然の終点整合条件を満たす全ての連続片方向線型円関数の正確な読み出しを与える。
局所化された種子は2パスネットワークで処理され、翻訳共分散、有限分解、凝集により、保存された支持ウィンドウにおいて任意のコンパクトに支持された連続的片方向線形シードに拡張される。
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