論文の概要: Fixed and Adaptive Topological DeepONets: Functional Measurements on Hausdorff Locally Convex Spaces

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.06428v1
• Date: Wed, 05 Aug 2026 20:23:32 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-08-10 16:21:25.246233
• Title: Fixed and Adaptive Topological DeepONets: Functional Measurements on Hausdorff Locally Convex Spaces
• Title（参考訳）: 固定および適応型トポロジカルディープノネット:ハウスドルフ局所凸空間の関数的測定
• Abstract要約: 我々はトポロジカルなDeepONetフレームワーク上に構築し、固定型・適応型機能計測システムを開発した。 我々は、測定、出力基底、ニューラル近似誤差を分離した離散的な誤差分解を導出する。 固定時間Navier-Stokes問題に対して、Adaptive Topological DeepONetは最も正確なDeepONetベースのモデルである。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.9511796408221285
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Deep Operator Networks (DeepONets; arXiv:1910.03193) typically encode an input function through point values on a fixed discretization. Building on the Topological DeepONet framework of Ismailov (arXiv:2603.11972), we replace point samples by continuous linear functionals drawn from the continuous dual of a Hausdorff locally convex space $({V},\{p_α\}_{α\in A})$, whose topology is generated by a point-separating family of seminorms rather than a single norm, and develop fixed and adaptive functional measurement systems. Measurements are combined with the coefficient-space Two-Step procedure of Lee and Shin (arXiv:2309.01020), while a training-only decoder and regularization stabilize the adaptive coordinates. We derive a discrete error decomposition separating measurement, output-basis, and neural-approximation errors, together with a Barron-rate refinement. The framework is evaluated on the antiderivative operator, a non-normable locally convex input space, heterogeneous Darcy flow, a controlled operator, and fixed-time and time-evolving Navier-Stokes vorticity operators. In the heterogeneous Darcy problem, the functional models retain nearly resolution-independent errors of 5.5-5.6% on unseen grids, while in the controlled problem adaptive measurements reduce the mean error below 1.2%. For the fixed-time Navier-Stokes problem, the Adaptive Topological DeepONet is the most accurate DeepONet-based model, attaining a mean relative $L^2$ error of 1.685% +/- 0.017% using 128 functional coordinates. A comparably sized Fourier neural operator (FNO; arXiv:2010.08895) achieves the lower error 0.832% +/- 0.172%, but requires the full 64x64 input field, twice the training time, and 10.7x greater peak GPU memory. The formulation provides compact, interpretable, and discretization-portable coordinates in the continuous dual $V'$, including for non-normable input spaces.
• Abstract（参考訳）: Deep Operator Networks (DeepONets; arXiv:1910.03193) は通常、固定された離散化上の点値を通して入力関数を符号化する。 Ismailov (arXiv:2603.11972) のトポロジカルDeepONet フレームワーク上に構築し、点サンプルをハウスドルフ局所凸空間 $({V},\{p_α\}_{α\in A})$ の連続双対から引き出された連続線型汎関数によって置き換える。 測定はLeeとShinの係数空間二段階法(arXiv:2309.01020)と組み合わせられ、トレーニング専用デコーダと正規化は適応座標を安定化させる。 測定,出力ベイジ,ニューラル近似誤差を分離した離散的誤差分解とバロンレート補正を導出する。 このフレームワークは、非ノルムな局所凸入力空間、不均一なダーシーフロー、制御演算子、固定時間および時間進化するナビエ・ストークス渦演算子に基づいて評価される。 不均一なダーシー問題では、関数モデルはほぼ分解能に依存しない5.5-5.6%の誤差を保持し、制御された問題適応測定では平均誤差は1.2%以下である。 固定時間Navier-Stokes問題では、Adaptive Topological DeepONetが最も正確なDeepONetベースのモデルであり、128の関数座標を用いて平均相対誤差が1.685% +/- 0.017%に達する。 比較可能な大きさのフーリエニューラル演算子(FNO; arXiv:2010.08895)は、より低いエラー 0.832% +/- 0.172% を達成するが、フル64x64入力フィールド、トレーニング時間の2倍、そして10.7倍のピークGPUメモリを必要とする。 この定式化は、コンパクトで解釈可能で離散化可能な座標を連続双対の$V'$で提供し、非ノルムな入力空間も含む。

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