論文の概要: Deep Holes in the Clifford Hierarchy
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.08403v1
- Date: Sun, 09 Aug 2026 01:43:41 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-08-11 19:16:36.804853
- Title: Deep Holes in the Clifford Hierarchy
- Title（参考訳）: クリフォード階層の深い穴
- Authors: Ian Teixeira, David Meyer,
- Abstract要約: 単量子クリフォード階層の位相閉包の被覆半径を$SU(2)cong S3$で決定する。
この閉包は、クリフォード-パウリ円(Clifford--Pauli circles)の18ドル大円の合併であり、その被覆半径が$arccossqrt5/6$であることを証明する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.502112118170715
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We determine the covering radius of the topological closure of the single-qubit Clifford hierarchy in $\SU(2)\cong S^3$. This closure is a union of $18$ great circles --- the Clifford--Pauli circles --- and we prove that its covering radius is $\arccos\sqrt{5/6}$. The extremal points, which we call \emph{deep holes}, form a single orbit of size $192$ under left and right multiplication by Clifford gates, and are described in closed form. Equivalently, the minimum over one-qubit unitaries of the all-level Clifford fidelity is $5/6$. The proof rests on two structures attached to the configuration of $18$ planes in $\R^4$: their centered rank-two projectors form an orthonormal basis of the irreducible $\SO(4)$-module $\Sym_0(4)$, and the projection profile of a unit quaternion is exactly its image under the double cover $\SU(2)\to\SO(3)$. These reduce the covering problem to a minimax statement for the $\ell^\infty$-norm on $\SO(3)$ which we solve exactly, classifying its equality cases.
- Abstract（参考訳）: 単量子クリフォード階層の位相閉包の被覆半径を $\SU(2)\cong S^3$ で決定する。
この閉包は、クリフォード-パウリ円(英語版)(Clifford--Pauli circles)の18$の大円の和であり、その被覆半径が$\arccos\sqrt{5/6}$であることを証明する。
極小点 (extremal point) は、我々が 'emph{deep hole}' と呼ぶもので、クリフォードゲートによって左と右の乗算の下で192$の1つの軌道を形成し、閉形式で記述される。
同様に、全レベルクリフォードフィデリティの最小1ビットのユニタリは5/6$である。
証明は、$\R^4$の18ドル平面の構成に付随する2つの構造に依存している: 中心のランク2プロジェクターは、既約$\SO(4)$-加群$\Sym_0(4)$の正則基底を形成し、単位四元数の射影プロファイルは、ちょうど二重被覆$\SU(2)\to\SO(3)$の下の像である。
これにより、カバー問題は$\ell^\infty$-norm の $\SO(3)$ のミニマックスステートメントに還元される。
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