論文の概要: Synthesis and Arithmetic of Single Qutrit Circuits

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2311.08696v4
• Date: Tue, 18 Feb 2025 20:21:13 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-02-20 13:56:13.356524
• Title: Synthesis and Arithmetic of Single Qutrit Circuits
• Title（参考訳）: 単一量子回路の合成と算術
• Authors: Amolak Ratan Kalra, Michele Mosca, Dinesh Valluri,
• Abstract要約: 本稿では,Clifford$+D$サイクロトミックゲート集合上の単語からなるクォート回路について検討する。 このフレームワークは、任意の素数の四重項に拡張するクリフォード$+D$の四重項ゲート合成を定式化するために開発された。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.8192907805418581
• License:
• Abstract: In this paper we study single qutrit circuits consisting of words over the Clifford$+D$ cyclotomic gate set, where $D=\text{diag}(\pm\xi^{a},\pm\xi^{b},\pm\xi^{c})$, $\xi$ is a primitive $9$-th root of unity and $a,b,c$ are integers. We characterize classes of qutrit unit vectors $z$ with entries in $\mathbb{Z}[\xi, \frac{1}{\chi}]$ based on the possibility of reducing their smallest denominator exponent (sde) with respect to $\chi := 1 - \xi,$ by acting an appropriate gate in Clifford$+D$. We do this by studying the notion of `derivatives mod $3$' of an arbitrary element of $\mathbb{Z}[\xi]$ and using it to study the smallest denominator exponent of $HDz$ where $H$ is the qutrit Hadamard gate and $D$. In addition, we reduce the problem of finding all unit vectors of a given sde to that of finding integral solutions of a positive definite quadratic form along with some additional constraints. As a consequence we prove that the Clifford$+D$ gates naturally arise as gates with sde $0$ and $3$ in the group $U(3,\mathbb{Z}[\xi, \frac{1}{\chi}])$ of $3 \times 3$ unitaries with entries in $\mathbb{Z}[\xi, \frac{1}{\chi}]$. We illustrate the general applicability of these methods to obtain an exact synthesis algorithm for Clifford$+R$ and recover the previous exact synthesis algorithm in \cite{kmm}. The framework developed to formulate qutrit gate synthesis for Clifford$+D$ extends to qudits of arbitrary prime power.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,Clifford$+D$ cyclotomic gate set, where $D=\text{diag}(\pm\xi^{a},\pm\xi^{b},\pm\xi^{c})$, $\xi$ is a primitive 9-th root of unity and $a,b,c$ are integers。 我々は$\mathbb{Z}[\xi, \frac{1}{\chi}]$が$\chi := 1 - \xi,$に対して最小の分母指数(sde)を減少させる可能性に基づいて、$\mathbb{Z}[\xi, \frac{1}{\chi}]$のエントリを持つクォート単位ベクトルのクラスを特徴づける。 我々は、$\mathbb{Z}[\xi]$ の任意の元の `デリバティブ mod $3$' の概念を研究し、それを使って$HDz$ の最小の分母指数の研究を行う。 さらに、与えられたスデーのすべての単位ベクトルを見つける問題は、いくつかの追加の制約とともに正定値二次形式の積分解を見つける問題に還元する。 その結果、Clifford$+D$ゲートは自然に、群$U(3,\mathbb{Z}[\xi, \frac{1}{\chi}])$$$$$3 \times 3$のゲートとして、$\mathbb{Z}[\xi, \frac{1}{\chi}]$のエントリを持つゲートとして生じる。 Clifford$+R$ の正確な合成アルゴリズムを得るためにこれらの手法の一般適用性を説明し、それ以前の正確な合成アルゴリズムを \cite{kmm} で復元する。 このフレームワークは、任意の素数の四重項に拡張するクリフォード$+D$の四重項ゲート合成を定式化するために開発された。

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