論文の概要: A Counterexample to the Tang Zhang Schatten Norm Conjecture and Sharp Positive Results

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.15558v1
• Date: Sun, 16 Aug 2026 06:10:33 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-08-18 19:59:03.338106
• Title: A Counterexample to the Tang Zhang Schatten Norm Conjecture and Sharp Positive Results
• Title（参考訳）: 唐張勝天ノルム分布とシャープ正の正の反例
• Abstract要約: 唐と張はすべての有限$p>1$に対して明示的な公式を予想した。 2leq pinfty$ のとき、最も1つの和のランクのすべての族に対して、予想されるシャープな境界が証明される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.8051706864605614
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: For $m\geq 2$, let $c_p(m)$ be the all-dimensional best constant in $$ \left\|\sum_{k=1}^m A_k\right\|_p \leq c_p(m)\left\|\sum_{k=1}^m |A_k|\right\|_p. $$ Tang and Zhang conjectured an explicit formula for every finite $p>1$. We disprove the conjecture with two explicit real $2\times 2$ rank-one matrices at $p=3/2$. The comparison is certified by seven strict rational inequalities and, in particular, places the attained ratio above $207/200$, while the conjectured constant lies below $207/200$. On the positive side, we prove the conjectured sharp bound for every family of rank-at-most-one summands when $2\leq p<\infty$, and classify all equality cases. We also prove the corresponding endpoint statement for $p=\infty$. Finally, for arbitrary complex matrices, we establish the conjectured sharp constant in the case $m=2$, $p=4$.
• Abstract（参考訳）: m\geq 2$ に対して、$c_p(m)$ を$$ \left\|\sum_{k=1}^m A_k\right\|_p \leq c_p(m)\left\|\sum_{k=1}^m |A_k|\right\|_p の全次元最適定数とする。 $$ Tang と Zhang はすべての有限 $p>1$ に対して明示的な公式を予想した。 予想を2つの明示的な実 2 倍数 2$ 階数 1 の行列を$p=3/2$ とする。 この比較は7つの厳密な有理不等式によって証明され、特に、得られた比率が207/200$以上であるのに対して、予想定数は207/200$以下である。 正の面において、2 の p<\infty$ のとき、最上位の和のすべての族に対して予想されるシャープ境界を証明し、全ての等式を分類する。 また、対応するエンドポイントステートメントを$p=\infty$で証明する。 最後に、任意の複素行列に対して、予想されるシャープ定数を$m=2$, $p=4$の場合に確立する。

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