Fugu-MT 論文翻訳(概要): Geometry-Constrained Kolmogorov-Arnold Networks: Learning Edge Geometry via Banach Duality

論文の概要: Geometry-Constrained Kolmogorov-Arnold Networks: Learning Edge Geometry via Banach Duality

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.25807v1
Date: Wed, 26 Aug 2026 13:53:13 GMT
ステータス: 翻訳完了
システム内更新日: 2026-08-27 14:15:15.847986
Title: Geometry-Constrained Kolmogorov-Arnold Networks: Learning Edge Geometry via Banach Duality
Title（参考訳）: 幾何制約付きコルモゴロフ・アルノルドネットワーク:バナッハ双対によるエッジ幾何学の学習
Authors: K S Sesh Kumar,
Abstract要約: Kolmogorov-Arnold Networks (KAN) はディープアーキテクチャにおける固定アクティベーションを置き換える。バナッハ双対写像から導かれるエッジ活性化の族。学習可能な指数は解釈可能な相対的な信号を与える。
参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Abstract: Kolmogorov-Arnold Networks (KANs) replace fixed activations in deep architectures with learnable univariate edge functions, making the choice of edge parametrisation central. Existing variants rely on fixed bases such as splines, polynomials, or Fourier features, which impose a function-space geometry before data are observed. We introduce geometry-constrained KANs, a family of edge activations derived from Banach duality maps in which the geometry itself is learned through a scalar exponent $p > 1$ per edge. This exponent controls the qualitative response: sub-Euclidean values produce sharp, threshold-like behaviour reminiscent of the $\ell_1$ (LASSO) geometry, $p = 2$ recovers the linear regime, and larger values produce flatter responses near the origin. Across 50 symbolic-regression targets ($40$ from the AI Feynman benchmark plus $10$ synthetic stress tests), geometry-constrained KANs match or beat every fixed-basis baseline on median NRMSE (Banach-KAN $0.030$, tying Chebyshev and improving on splines); on average rank Banach-KAN is best on the $18$-equation core ($2.00$) and statistically tied with the strongest spline on the full benchmark ($2.32$ vs. $2.34$). The clearest gains appear under measurement noise: as $σ$ grows from $0$ to $1$, $\ell^p$-KAN degrades only $3.7\times$ -- below even a cross-validated spline ($\approx 11\times$) -- while an unregularised spline degrades $21.6\times$; Banach-KAN degrades $8.8\times$, comparable to a tuned spline but far more stable than the unregularised one. Banach-KAN also takes the most per-equation wins in the small-sample regime, with fixed-basis models catching up only as the training set grows. Learned exponents provide an interpretable, relative signal: at a fixed initialisation they reveal a consistent, target-dependent geometric ordering across equation families and input dimensions.
Abstract（参考訳）: Kolmogorov-Arnold Networks (KAN) は、深層アーキテクチャにおける固定活性化を学習可能な一変量エッジ関数に置き換え、エッジパラメトリゼーションを中心的に選択する。既存の変種はスプライン、多項式、フーリエといった固定基底に依存しており、データが観測される前に関数空間幾何学を課す。幾何制約付きカンはバナッハ双対写像から導かれるエッジアクティベーションの族であり、幾何自体がスカラー指数$p > 1$ で学習される。この指数は定性応答を制御する: サブユークリッド値は、$\ell_1$ (LASSO) 幾何を思い起こさせるシャープなしきい値のような振舞いを生成し、$p = 2$ は線形状態を回復し、より大きな値は原点付近で平坦な応答を生成する。 NRMSE(Banach-KAN $0.030$, tying Chebyshev and improve on splines)では50のシンボリック回帰目標(AI Feynmanベンチマークと10ドルの合成ストレステストから40ドル)が一致し、幾何制約付きkansがすべての固定基底ベースラインにマッチまたは打ち勝つ(Banach-KAN $0.030$, tying Chebyshev and improve on splines)。 σ$が$0から$$$に成長するにつれて、$\ell^p$-KANは$3.7\times$に値下げされるが、非正規化されたスプラインは$1.6\times$に値下げされ、Banach-KANは$8.8\times$に値下げされる。バナッハ・カンは、トレーニングセットが成長するにつれてのみ、固定ベースモデルが追いつき、小さなサンプル体制で最も方程式当たりの勝利を収める。学習された指数は解釈可能な相対的な信号を与える:固定初期化時には、方程式族と入力次元をまたいだ一貫した、ターゲット依存の幾何学的順序を示す。

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