論文の概要: Spectral Convergence of Random Feature Method in Multiple Dimensions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.03401v1
• Date: Thu, 03 Sep 2026 06:01:00 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-04 18:28:38.93717
• Title: Spectral Convergence of Random Feature Method in Multiple Dimensions
• Title（参考訳）: 多重次元におけるランダム特徴法のスペクトル収束
• Authors: Pingbing Ming, Hao Yu,
• Abstract要約: 我々はまず,ソボレフ,ゲブリー,超分析,帯域制限クラスにおける多次元目標に対するランダム特徴法(RFM)のスペクトル収束性を示す。 この分析は一般的なメカニズムを特定しており、高精度なスペクトル近似が重篤な条件付けを引き起こすのと同じである。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.361030050051251
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We first prove spectral convergence of the random feature method (RFM) for multidimensional targets in Sobolev, Gevrey, ultra-analytic, and bandlimited classes. The analysis establishes general high-probability approximation estimates in the interpolation scale generated by a kernel integral operator. On a single event determined only by the sampled features, one random space approximates every target in a prescribed source ball; moreover, for each target, a single coefficient vector defines an approximant that attains spectral accuracy simultaneously in all admissible error norms. For both regularity-adapted frequency distributions and uniform distributions on growing frequency windows, the resulting rates range from super-exponential to algebraic, depending on the regularity of the target. Second, we establish abstract error estimates for strong- and weak-form RFM discretizations, thereby converting the preceding approximation bounds into convergence estimates for multidimensional second-order elliptic boundary value and eigenvalue problems. Finally, for random feature matrices (RFMtxs), we prove super-exponential singular-value decay with Fourier features and exponential decay with $\tanh$ features, together with corresponding condition-number lower bounds. The analysis identifies a common mechanism: the same spectral approximation that yields high accuracy also drives severe ill-conditioning.
• Abstract（参考訳）: 我々はまず,ソボレフ,ゲブリー,超分析,帯域制限クラスにおける多次元目標に対するランダム特徴法(RFM)のスペクトル収束性を示す。 この解析により、カーネル積分演算子によって生成される補間スケールにおける一般的な高確率近似推定値が確立される。 サンプリングされた特徴のみによって決定される1つの事象において、1つのランダム空間は、所定のソースボール内の各ターゲットを近似し、さらに、各ターゲットに対して、全ての許容誤差ノルムにおいて同時にスペクトル精度を達成する近似を1つの係数ベクトルで定義する。 増加頻度ウィンドウ上の正規性適応周波数分布と均一分布の両方について、結果の速度はターゲットの正規性によって超指数から代数的まで様々である。 第二に、強および弱波形のRAM離散化に対する抽象誤差推定を定め、これにより、先行近似境界を多次元楕円境界値と固有値問題に対する収束推定に変換する。 最後に、ランダム特徴行列 (RFMtxs) に対して、フーリエ特徴を持つ超指数特異値崩壊と、$\tanh$特徴を持つ指数減衰と、対応する条件数下界を証明した。 この分析は一般的なメカニズムを特定しており、高精度なスペクトル近似が重篤な条件付けを引き起こすのと同じである。

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