論文の概要: Minimax Lower Bound for Estimating Diffusion-based Local Intrinsic Dimension
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.04822v1
- Date: Fri, 04 Sep 2026 07:18:53 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-09-07 18:15:23.959586
- Title: Minimax Lower Bound for Estimating Diffusion-based Local Intrinsic Dimension
- Title（参考訳）: 拡散に基づく局所固有次元の推定のためのミニマックス下界
- Abstract要約: FLIPDを基盤とした有限スケール関数関数関数の推定について検討した。
モデルクラス上で一様に、有限スケールの体は、少なくとも$O(2)$の多様体次元$d$と異なることを示す。
次に、この有限スケール場を$n$観測から推定するために、$(nd)-1$のミニマックス下界を確立する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.5556158622876195
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: While diffusion-based methods have recently emerged as effective tools for probing the intrinsic geometry of high-dimensional data, their statistical difficulty remains largely unexplored. We study estimation of the finite-scale population functional underlying FLIPD (Kamkari et al., 2024; arXiv:2406.03537), a diffusion-based local intrinsic dimension (LID) quantity defined through the logarithmic scale derivative of a Gaussian-smoothed density. Intuitively, Gaussian smoothing turns local dimension into a scale law: near a $d$-dimensional manifold, the kernel mass grows like $σ^d$, so differentiating with respect to the noise scale reveals the intrinsic exponent. Under a regular manifold model, we show uniformly over the model class that the finite-scale field differs from the manifold dimension $d$ by at most $O(σ^2)$. We then establish a minimax lower bound of order $(nσ^d)^{-1}$ for estimating this finite-scale field from $n$ observations, for $n^{-1/(2α+d)}\lesssimσ\leσ_0$. At the smallest scale covered by our lower-bound construction, the bound becomes the nonparametric rate $n^{-2α/(2α+d)}$.
- Abstract（参考訳）: 拡散法は近年,高次元データの内在的幾何を探索する有効な手法として登場したが,その統計的困難さはほとんど解明されていない。
FLIPD(Kamkari et al , 2024; arXiv:2406.03537; 拡散に基づく局所固有次元 (LID) ) 量をガウス平滑密度の対数スケール微分によって推定する。
直感的には、ガウスの滑らか化は局所次元をスケール法則に変える:$d$-次元多様体の近くで、核の質量は$σ^d$のように成長するので、ノイズスケールに関する微分は本質的な指数を明らかにする。
正則多様体モデルの下では、有限スケール体が少なくとも$O(σ^2)$の多様体次元$d$と異なることをモデルクラス上で一様に示す。
すると、$n$観測からこの有限スケール場を推定するための位数$(nσ^d)^{-1}$のミニマックス下界を、$n^{-1/(2α+d)}\lesssimσ\leσ_0$に対して確立する。
下界構成でカバーされる最小のスケールでは、境界は非パラメトリックレート$n^{-2α/(2α+d)}$となる。
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