論文の概要: Nonlinear elliptic homogenization with the parametric Deep Ritz method
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.05778v1
- Date: Sat, 05 Sep 2026 00:04:22 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-09-10 19:44:08.134666
- Title: Nonlinear elliptic homogenization with the parametric Deep Ritz method
- Title（参考訳）: パラメトリックディープ・リッツ法による非線形楕円相同化
- Abstract要約: 非線形化から生じるパラメトリックセル問題の解法としてディープ・リッツ法を用いる。
本手法は正確で効率的であり,セル応答の連続的かつ微分可能な表現を提供する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Elliptic homogenization is used to determine coarse-grained properties of materials with features on small scales. When these small scale features have rapid, periodic fluctuations, the solution field corresponding to a homogenized constitutive relation closely resembles the true solution based on the heterogeneous material. This homogenized behavior of the material is computed from a cell problem, where a cell is defined to be one period of the fluctuating material. In the context of linear elliptic partial differential equations, the homogenized constitutive relation is defined simply by a constant coefficient tensor, but for nonlinear problems, the homogenized response depends on the macroscopic state and/or its gradient, thus requiring solutions to parametric cell problems. When computing a numerical solution with the homogenized constitutive relation, it is useful to have a differentiable representation of the solution to the cell problem, as derivatives of the homogenized constitutive relation are required in Newton iterations for the macroscopic state field. In this work, we use the Deep Ritz method to solve the parametric cell problems that arise from nonlinear homogenization. First, we exploit the variational structure of the cell problem, then we discretize the dependence of the cell response on both space and the macroscopic state with a neural network. Enforcing boundary conditions on the cell response strongly, we next use the parametric Deep Ritz method to simultaneously solve the cell problem over a range of macroscopic states. We show that this method is accurate, efficient, and offers a continuous and differentiable representation of the cell response over the macroscopic state and gradient. We then show that our parametric representation of the cell response significantly expedites macroscale solutions when compared to a traditional $\text{FE}^2$ scheme.
- Abstract（参考訳）: 楕円型ホモジェナイゼーションは、小さなスケールで特徴を持つ材料の粗粒度特性を決定するために用いられる。
これらの小さな性質が急激な周期的変動を持つとき、均質な構成関係に対応する解体は、不均一な物質に基づく真の解によく似ている。
この均質化挙動は、セルが変動する材料の一周期であると定義される細胞問題から計算される。
線形楕円型偏微分方程式の文脈では、ホモジェナイズド構成関係は単に定数係数テンソルによって定義されるが、非線形問題に対しては、ホモジェナイズド応答はマクロ状態および/またはその勾配に依存するため、パラメトリックセル問題に対する解を必要とする。
ホモジェナイズド構成関係を持つ数値解を計算する際には、マクロな状態場に対するニュートン反復において、ホモジェナイズド構成関係の微分が要求されるため、セル問題に対する解の微分可能な表現を持つことが有用である。
本研究ではディープ・リッツ法を用いて非線形均質化から生じるパラメトリックセル問題を解く。
まず, セル問題の変動構造を利用して, ニューラルネットワークを用いて, 細胞応答の空間およびマクロ状態への依存性を識別する。
次にパラメトリックディープ・リッツ法を用いて, 細胞応答の境界条件を強く推し進める。
本研究では, この手法が正確で効率的であり, マクロな状態と勾配上での細胞応答の連続的かつ微分可能な表現を提供することを示す。
そこで我々は,従来の$\text{FE}^2$スキームと比較して,セル応答のパラメトリック表現がマクロスケールの解を著しく高速化することを示した。
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