論文の概要: Variational formulation based on duality to solve partial differential equations: Use of B-splines and machine learning approximants

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2412.01232v2
• Date: Sat, 01 Mar 2025 12:20:53 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-03-04 13:03:26.939208
• Title: Variational formulation based on duality to solve partial differential equations: Use of B-splines and machine learning approximants
• Title（参考訳）: 偏微分方程式を解くための双対性に基づく変分定式化:B-スプラインと機械学習近似を用いた
• Authors: N. Sukumar, Amit Acharya,
• Abstract要約: 多くの偏微分方程式(PDE)は、正確な原始的変動構造を持っていない。 双対(ラグランジュ乗算器)場に基づく変分原理を提案した。 線形, 一次元, 過渡対流拡散方程式の二重弱形式を導出する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License:
• Abstract: Many partial differential equations (PDEs) such as Navier--Stokes equations in fluid mechanics, inelastic deformation in solids, and transient parabolic and hyperbolic equations do not have an exact, primal variational structure. Recently, a variational principle based on the dual (Lagrange multiplier) field was proposed. The essential idea in this approach is to treat the given PDEs as constraints, and to invoke an arbitrarily chosen auxiliary potential with strong convexity properties to be optimized. On requiring the vanishing of the gradient of the Lagrangian with respect to the primal variables, a mapping from the dual to the primal fields is obtained. This leads to requiring a convex dual functional to be minimized subject to Dirichlet boundary conditions on dual variables, with the guarantee that even PDEs that do not possess a variational structure in primal form can be solved via a variational principle. The vanishing of the first variation of the dual functional is, up to Dirichlet boundary conditions on dual fields, the weak form of the primal PDE problem with the dual-to-primal change of variables incorporated. We derive the dual weak form for the linear, one-dimensional, transient convection-diffusion equation. A Galerkin discretization is used, with the trial and test functions chosen as linear combination of either shallow neural networks with RePU activation functions or B-splines; the corresponding stiffness matrix is symmetric. For transient problems, a space-time Galerkin implementation is used with tensor-product B-splines as approximating functions. Numerical results are presented for the steady-state and transient convection-diffusion equation, and transient heat conduction. The proposed method delivers sound accuracy for ODEs and PDEs and rates of convergence are established in the $L^2$ norm and $H^1$ seminorm for the steady-state convection-diffusion problem.
• Abstract（参考訳）: 流体力学におけるナビエ-ストークス方程式、固体における非弾性変形、過渡放物型方程式や双曲型方程式のような多くの偏微分方程式(PDE)は、正確な原始的変動構造を持っていない。 近年、双対(ラグランジュ乗算器)場に基づく変分原理が提案されている。 このアプローチの基本的な考え方は、与えられたPDEを制約として扱い、最適化される強い凸性を持つ任意の選択された補助ポテンシャルを呼び出すことである。 ラグランジアンの原変数に対する勾配の消失を要求すると、双対から原体への写像が得られる。 これにより、双対変数上のディリクレ境界条件を最小化するために凸双対汎函数が必要となり、原始形式において変分構造を持たない PDE でさえ変分原理によって解けることが保証される。 双対汎函数の最初の変項の消滅は、双対体上のディリクレ境界条件(英語版)(Dirichlet boundary conditions)において、変数の双対極小変化を伴う原始PDE問題の弱形式である。 線形, 一次元, 過渡対流拡散方程式の二重弱形式を導出する。 試験と試験関数は、浅いニューラルネットワークとRePU活性化関数またはB-スプラインの線形結合として選択され、対応する剛性行列は対称である。 過渡問題に対して、時空ガレルキン実装はテンソル積 B-スプラインを近似関数として用いる。 定常・過渡対流拡散方程式と過渡熱伝導について数値計算を行った。 提案手法は, 定常対流拡散問題に対して, L^2$ノルムと H^1$半ノルムにおいて, ODE と PDE の音響精度と収束率を確立した。

関連論文リスト

• A Deep Learning approach for parametrized and time dependent Partial Differential Equations using Dimensionality Reduction and Neural ODEs [46.685771141109306]
  時間依存・パラメトリック・(典型的には)非線形PDEに対する古典的数値解法と類似した自己回帰・データ駆動手法を提案する。 DRを活用することで、より正確な予測を提供するだけでなく、より軽量でより高速なディープラーニングモデルを提供できることを示す。
  論文  参考訳（メタデータ） (2025-02-12T11:16:15Z)
• Mathematics of Digital Twins and Transfer Learning for PDE Models [49.1574468325115]
  偏微分方程式(PDE)によって支配される物理系のディジタル双対(DT)を定義する。 我々はKL-NN(Karhunen-Loeve Neural Network)サロゲートモデルと伝達学習(TL)を用いたDTを構築する。
  論文  参考訳（メタデータ） (2025-01-11T01:14:15Z)
• Quantum Circuits for the heat equation with physical boundary conditions via Schrodingerisation [33.76659022113328]
  本稿では、物理境界条件を持つ偏微分方程式(PDE)の量子シミュレーションのための量子回路の明示的設計について検討する。 時間依存的物理的境界条件から生じる不均一項を扱うための2つの方法を提案する。 次に、[CJL23]から量子シミュレーション手法を適用し、結果の非自律系を1次元の自律系に変換する。
  論文  参考訳（メタデータ） (2024-07-22T03:52:14Z)
• Variational Equations-of-States for Interacting Quantum Hamiltonians [0.0]
  相互作用する量子ハミルトニアンの純粋状態に対する状態の変分方程式(VES)を示す。 VESは密度演算子や静的相関関数の変化の観点から表現することができる。 VESの3つの非自明な応用を示す。
  論文  参考訳（メタデータ） (2023-07-03T07:51:15Z)
• Physics-Informed Gaussian Process Regression Generalizes Linear PDE Solvers [32.57938108395521]
  線形偏微分方程式と呼ばれる力学モデルのクラスは、熱伝達、電磁気、波動伝播などの物理過程を記述するために用いられる。 離散化に基づく特殊数値法はPDEの解法として用いられる。 パラメータや測定の不確実性を無視することで、古典的なPDE解法は固有の近似誤差の一貫した推定を導出できない可能性がある。
  論文  参考訳（メタデータ） (2022-12-23T17:02:59Z)
• Learning differentiable solvers for systems with hard constraints [48.54197776363251]
  ニューラルネットワーク(NN)によって定義される関数に対する偏微分方程式(PDE)制約を強制する実践的手法を提案する。 我々は、任意のNNアーキテクチャに組み込むことができる微分可能なPDE制約層を開発した。 その結果、NNアーキテクチャに直接ハード制約を組み込むことで、制約のない目的のトレーニングに比べてテストエラーがはるかに少ないことがわかった。
  論文  参考訳（メタデータ） (2022-07-18T15:11:43Z)
• Message Passing Neural PDE Solvers [60.77761603258397]
  我々は、バックプロップ最適化されたニューラル関数近似器で、グラフのアリーデザインのコンポーネントを置き換えるニューラルメッセージパッシング解決器を構築した。 本稿では, 有限差分, 有限体積, WENOスキームなどの古典的手法を表現的に含んでいることを示す。 本研究では, 異なる領域のトポロジ, 方程式パラメータ, 離散化などにおける高速, 安定, 高精度な性能を, 1次元, 2次元で検証する。
  論文  参考訳（メタデータ） (2022-02-07T17:47:46Z)
• Last-Iterate Convergence of Saddle-Point Optimizers via High-Resolution Differential Equations [83.3201889218775]
  広く使われている1次サドル点最適化法は、帰納的導出時に同一の連続時間常微分方程式(ODE)を導出する。 しかし、これらの方法の収束特性は、単純な双線型ゲームでさえ質的に異なる。 いくつかのサドル点最適化法のための微分方程式モデルの設計に流体力学の研究フレームワークを採用する。
  論文  参考訳（メタデータ） (2021-12-27T18:31:34Z)
• Model Reduction of Swing Equations with Physics Informed PDE [3.3263205689999444]
  この原稿は、トランスミッションレベル電力系統における過渡的ダイナミクスを捉えるために、堅牢で効率的なモデル削減手法を構築するための最初のステップである。 本研究では,各離散係数の空間的畳み込み過程から抽出したPDE係数とソース項を適切に粗い粒度にすると,結果のPDEは元のスイングダイナミクスを忠実かつ効率的に再現することを示す。
  論文  参考訳（メタデータ） (2021-10-26T22:46:20Z)
• Solving and Learning Nonlinear PDEs with Gaussian Processes [11.09729362243947]
  非線形偏微分方程式を解くための単純で厳密で統一された枠組みを提案する。 提案手法は、コロケーションカーネル法を非線形PDEとIPに自然に一般化する。 IP では,PDE におけるパラメータの同定と解の数値近似を反復的に行う手法が提案されているが,アルゴリズムは両手法を同時に扱う。
  論文  参考訳（メタデータ） (2021-03-24T03:16:08Z)
• Exponentially Weighted l_2 Regularization Strategy in Constructing Reinforced Second-order Fuzzy Rule-based Model [72.57056258027336]
  従来の高木スゲノカン(TSK)型ファジィモデルでは、定数あるいは線形関数がファジィ規則の連続部分として使用されるのが普通である。 調和解析で遭遇する重み関数理論にインスパイアされた指数重みアプローチを導入する。
  論文  参考訳（メタデータ） (2020-07-02T15:42:15Z)

関連論文リストは本サイト内にある論文のタイトル・アブストラクトから自動的に作成しています。

指定された論文の情報です。
本サイトの運営者は本サイト（すべての情報・翻訳含む）の品質を保証せず、本サイト（すべての情報・翻訳含む）を使用して発生したあらゆる結果について一切の責任を負いません。