論文の概要: A complete classification of the existence of finite-dimensional quantum solutions to inconsistent linear constraint systems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.16490v1
• Date: Tue, 15 Sep 2026 01:26:46 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-16 14:56:08.295423
• Title: A complete classification of the existence of finite-dimensional quantum solutions to inconsistent linear constraint systems
• Title（参考訳）: 不整合線形制約系に対する有限次元量子解の存在の完全な分類
• Abstract要約: 変数をローカルなパウリ演算子にプロモートすることで、一貫性のないLCSを解くことができることを示す。 また、有限体上の量子古典的ギャップを持つ LCS の存在は、$dgeq 3$ と $pmid d$ の場合に限る。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Linear constraint systems (LCS) provide a compact algebraic language for nonlocal games and state-independent contextuality. In the binary case the Mermin--Peres square shows that inconsistent LCS can be solved by promoting variables to local Pauli operators, whereas a series of no-go results excludes analogous Pauli-, Clifford- and monomial unitary-based constructions at odd prime modulus. We first isolate the reason for this difference: for tensor-product quantum solutions, the obstruction to a classical solution of a LCS over $\mathbb{Z}_n$ decomposes into obstruction classes carried by the individual factors. As a consequence, a genuinely global obstruction cannot arise solely by tensoring locally unobstructed systems. The argument is specific to odd modulus; at even modulus the reordering phase need not vanish, as in Pauli-based examples. Given this distinction, we instead associate LCS to finite arrangements of rank-one projectors and resolutions of the identity in finite-dimensional vector spaces. Quantum solvability for such LCS is automatic and the search for a quantum-classical gap rests entirely on proving classical unsatisfiability of the underlying modular incidence problem of the arrangement. By relating such LCS with group-valued frame functions, we identify a family of examples in the work of [Harding, Jager, and Smith, Int. J. Theor. Phys. 44, 539 (2005)]. To establish the (non)existence of classically unsatisfiable LCS over $\mathbb{Z}_n$ with quantum solutions in all dimensions $d$ and for all $n\in\mathbb{N}$, we further construct explicit examples for the cases $d=n$ prime. Our main result thus positively resolves the existence problem of such LCS beyond the binary case: such systems exist if and only if $d\geq 3$ and $\gcd(n,d)>1$. Moreover, we establish the existence of LCS with a quantum-classical gap over finite fields if and only if $d\geq 3$ and $p\mid d$.
• Abstract（参考訳）: 線形制約系(LCS)は、非局所ゲームと状態非依存の文脈性のためのコンパクトな代数言語を提供する。 二項体の場合、メルミン=ペレス正方形は、変数を局所パウリ作用素に促進することで不整式 LCS が解けることを示しているが、一連のノーゴーの結果は奇素モジュラーのパウリ-、クリフォード-、単項ユニタリ-ベース構成を除外する。 テンソル積の量子解に対して、$\mathbb{Z}_n$ 上の LCS の古典解に対する障害は、個々の因子が持つ障害物類に分解される。 結果として、真のグローバルな障害は、局所的に妨害されていないシステムを緊張させることだけでは生じない。 この議論は奇モジュラーに特有であり、たとえモジュラー数であっても、パウリの例のように、再順序位相は消える必要はない。 この区別から、我々は LCS を階数 1 の射影の有限配置と有限次元ベクトル空間における恒等性の分解に関連付ける。 そのようなLCSの量子可解性は自動であり、量子古典的ギャップの探索は、その配置の根底にあるモジュラーインシデント問題の古典的不満足性の証明に完全に依存する。 そのようなLCSと群値フレーム関数を関連付けることにより、[Harding, Jager, and Smith, Int. J. Theor. Phys. 44, 539 (2005)] の例の族を同定する。 古典的に満足できない LCS を$\mathbb{Z}_n$ 上で、すべての次元の量子解に対して$d$ およびすべての$n\in\mathbb{N}$ に対して成立させるには、さらに$d=n$素の場合の明示的な例を構築する。 したがって、我々の主な結果は、そのような LCS の存在問題を二項の場合を超えて正に解決する:そのような系が存在するのは、$d\geq 3$ と $\gcd(n,d)>1$ である。 さらに、有限体上の量子古典的ギャップを持つ LCS の存在は、$d\geq 3$ と $p\mid d$ の場合に限る。

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