論文の概要: Theory Guided and Interpretable Neural Operator Design for Partial Differential Equation Learning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.33715v1
• Date: Sun, 27 Sep 2026 16:18:27 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-04 17:26:09.333259
• Title: Theory Guided and Interpretable Neural Operator Design for Partial Differential Equation Learning
• Title（参考訳）: 部分微分方程式学習のための理論ガイドと解釈可能なニューラル演算子設計
• Abstract要約: 本稿では,ニューラル演算子学習と適応フーリエ分解(AFD)理論を取り入れた新しいPDE解法 AFDONetを提案する。 AFDONetは、アーキテクチャとコンポーネントの設計が確立された数学的フレームワークによって完全にガイドされる最初のニューラルPDEソルバである。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.7305019142196584
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Accurate numerical solutions of partial differential equations (PDEs) are crucial in numerous science and engineering applications. In this work, we introduce a novel neural PDE solver named AFDONet, which incorporates neural operator learning and adaptive Fourier decomposition (AFD) theory for the first time into a specifically designed variational autoencoder (VAE) structure, to solve a general class of nonlinear PDEs on smooth manifolds. AFDONet is the first neural PDE solver whose architectural and component design is fully guided by an established mathematical framework (in this case, AFD theory), turning neural operator design from an art to a science. Thus, AFDONet also exhibits exceptional mathematical explainability and groundness, and enjoys several desired properties. Furthermore, AFDONet achieves outstanding solution accuracy and competitive computational efficiency in several benchmark problems. In particular, thanks to its deep connections with AFD theory, AFDONet shows superior performance in solving PDEs on i) arbitrary (Riemannian) manifolds, and ii) datasets with sharp gradients. Overall, this work presents a new paradigm for designing explainable neural operator frameworks.
• Abstract（参考訳）: 偏微分方程式(PDE)の正確な数値解は多くの科学や工学の応用において重要である。 本研究では、ニューラルネットワーク学習と適応フーリエ分解(AFD)理論を特別に設計された変分オートエンコーダ(VAE)構造に組み込んで、滑らかな多様体上の非線形PDEの一般クラスを解く、AFDONetという新しいニューラルネットワークPDE解法を提案する。 AFDONetは、アーキテクチャとコンポーネントの設計が確立された数学的フレームワーク(この場合、AFD理論)によって完全にガイドされ、ニューラル演算子設計を芸術から科学に転換する最初のニューラルPDEソルバである。 このように、AFDONetは例外的な数学的説明可能性と基底性を示し、いくつかの望ましい性質を享受している。 さらに、AFDONetは、いくつかのベンチマーク問題において、卓越した解の精度と競合計算効率を達成する。 特にAFD理論との深いつながりにより、AFDONetはPDEを解く上で優れた性能を示している。 一 任意の(リーマン多様体)および 二 急勾配のデータセット 全体として、この研究は説明可能なニューラル演算子フレームワークを設計するための新しいパラダイムを提示している。

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