論文の概要: BEACONS: Bounded-Error, Algebraically-Composable Neural Solvers for Partial Differential Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2602.14853v1
• Date: Mon, 16 Feb 2026 15:49:19 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-02-17 16:22:50.490136
• Title: BEACONS: Bounded-Error, Algebraically-Composable Neural Solvers for Partial Differential Equations
• Title（参考訳）: BEACONS:部分微分方程式に対する代数的計算可能なニューラルネットワーク
• Authors: Jonathan Gorard, Ammar Hakim, James Juno,
• Abstract要約: 我々は,PDEのための公式検証ニューラルネットワークソルバを構築することにより,制限を回避することができることを示す。 浅部ニューラルネットワーク近似の最悪のLinf誤差に対して,厳密な外挿境界を構築することができるかを示す。 BEACONSと呼ばれるこのフレームワークは、ニューラルネットワーク自身のための自動コード証明と、機械チェック可能な正当性証明を生成するための見事な自動定理生成システムの両方を含む。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The traditional limitations of neural networks in reliably generalizing beyond the convex hulls of their training data present a significant problem for computational physics, in which one often wishes to solve PDEs in regimes far beyond anything which can be experimentally or analytically validated. In this paper, we show how it is possible to circumvent these limitations by constructing formally-verified neural network solvers for PDEs, with rigorous convergence, stability, and conservation properties, whose correctness can therefore be guaranteed even in extrapolatory regimes. By using the method of characteristics to predict the analytical properties of PDE solutions a priori (even in regions arbitrarily far from the training domain), we show how it is possible to construct rigorous extrapolatory bounds on the worst-case L^inf errors of shallow neural network approximations. Then, by decomposing PDE solutions into compositions of simpler functions, we show how it is possible to compose these shallow neural networks together to form deep architectures, based on ideas from compositional deep learning, in which the large L^inf errors in the approximations have been suppressed. The resulting framework, called BEACONS (Bounded-Error, Algebraically-COmposable Neural Solvers), comprises both an automatic code-generator for the neural solvers themselves, as well as a bespoke automated theorem-proving system for producing machine-checkable certificates of correctness. We apply the framework to a variety of linear and non-linear PDEs, including the linear advection and inviscid Burgers' equations, as well as the full compressible Euler equations, in both 1D and 2D, and illustrate how BEACONS architectures are able to extrapolate solutions far beyond the training data in a reliable and bounded way. Various advantages of the approach over the classical PINN approach are discussed.
• Abstract（参考訳）: ニューラルネットワークの伝統的な制限は、トレーニングデータの凸殻を越えて確実に一般化されるため、計算物理学において重要な問題となり、実験的または分析的に検証できるあらゆる状況を超えて、PDEを解決したいと考えることがしばしばある。 本稿では, 厳密な収束性, 安定性, 保存性を備えたPDEのためのニューラルネットワークソルバを構築することにより, これらの制限を回避することができることを示す。 学習領域から任意に離れた領域でも) PDE 解の解析的性質を予測する手法を用いて, 浅部ニューラルネットワーク近似の最悪のL^inf誤差に対して, 厳密な外挿境界を構築することができることを示す。 そして,より単純な関数の合成にPDE解を分解することにより,これらの浅層ニューラルネットワークを結合して深層構造を構築できることを示す。 BEACONS(Bounded-Error, Algebraically-COmposable Neural Solvers)と呼ばれるこのフレームワークは、ニューラルネットワーク自身のための自動コード生成器と、正しさのマシンチェック可能な証明書を生成するための自動定理証明システムの両方を含む。 この枠組みを線形対流やバーガース方程式を含む多種多様な線形および非線形PDEに適用し、1次元および2次元の完全な圧縮可能なオイラー方程式に適用し、BEACONSアーキテクチャがいかにして、信頼性と有界な方法で、トレーニングデータを超えて解を外挿することができるかを説明する。 古典的なPINNアプローチに対するアプローチの様々な利点について論じる。

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