論文の概要: Quantum code parameters, checkable by a certificate of provable size

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.03214v1
• Date: Fri, 02 Oct 2026 12:31:45 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-06 00:14:30.367497
• Title: Quantum code parameters, checkable by a certificate of provable size
• Title（参考訳）: 証明可能なサイズの証明書でチェック可能な量子コードパラメータ
• Abstract要約: コードのパラメータは、証明された大きさの証明書で、コード全体で一様にチェックできることを示す。 リーンの論理の3つの標準的な公理は信頼できないが、コードのチェックを書くジェネレータは20キュービットで停止する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: A code is described by three numbers: its physical qubits, its logical qubits, and the smallest error it cannot detect, counted in qubits. The first two are linear algebra. The third, the distance, is an optimum over an exponentially large set, read off a solver whose answer carries no certificate. Whether a code's parameters can be checked uniformly across codes, with a certificate of proved size, is open. Here we show that they can, by moving the unit of work from the code to a \emph{certificate}, a short object, either a list, a pairing or a symbolic instance, whose correctness the kernel of the \Lean\ proof assistant decides by computation. The kernel is the small core that checks each step. The certificate's size is itself a theorem: its enumeration form lists the vectors of weight below the distance $d$, $\sum_{j<d}\binom{n}{j}$ of them, a polynomial in the code's length $n$ at fixed distance $d$. No bound uniform over codes in both $n$ and $d$ is smaller. For product families the certificate is smaller still, the bound being proved once, symbolically. Deciding that a vector lies outside the row space of the check matrix, the set of sums of its rows, becomes one matrix-vector product and one inner product. On an eighteen-qubit toric code, a surface code closed into a torus, the whole-file check of that decision falls from 42\,s to 9\,s. Eleven code families and thirty-nine parameter sets follow, the widest at 1872 qubits. Nothing beyond the three standard axioms of \Lean's logic is trusted, though the generator that writes a code's checks stops at twenty qubits, and the lower bound for the 144-qubit code is imported rather than proved here. A distance becomes checkable rather than believed, and the same move applies wherever else a computation ends in a solver.
• Abstract（参考訳）: コードは物理量子ビット、論理量子ビット、そして検出できない最小の誤差の3つの数で表される。 最初の2つは線型代数である。 3番目である距離は指数関数的に大きい集合上の最適値であり、答えが証明を持たない解法を読み取る。 コードのパラメータがコード全体で一様にチェックできるかどうか、証明された大きさの証明書はオープンである。 ここでは、作業単位をコードからショートオブジェクト、リスト、ペアリング、シンボリックインスタンスに移動させることで、 \Lean\証明アシスタントのカーネルの正しさが計算によって決定されることを示す。 カーネルは各ステップをチェックする小さなコアである。 その列挙形式は距離 $d$, $\sum_{j<d}\binom{n}{j}$ 以下の重みのベクトルを列挙する。 $n$ と $d$ の両方のコードに対する統一性は、より小さい。 製品ファミリーでは、証明書は小さいが、その境界は象徴的に一度証明される。 ベクトルがチェック行列の行空間の外にあると判断すると、その行の和の集合は行列ベクトル積と1つの内積となる。 18ビットのトーラス符号では、表面コードがトーラスに閉じられ、その決定のファイル全体のチェックは42\,sから9\,sになる。 11のコードファミリと30のパラメータセットが従うが、最も広いのは1872 qubitsである。 しかし、コードのチェックを書くジェネレータは20キュービットで停止し、144キュービットのコードに対する低いバウンダリはここで証明されるのではなく、インポートされる。 距離は信じずとも確認可能となり、同じ動きが解法で計算が終わればどこでも適用される。

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