論文の概要: Global error estimators for parametric monotone nonlinearities and neural approximations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.05767v1
- Date: Mon, 05 Oct 2026 04:12:25 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-10-10 04:32:56.267195
- Title: Global error estimators for parametric monotone nonlinearities and neural approximations
- Title（参考訳）: パラメトリックモノトン非線形性とニューラル近似に対する大域的誤差推定器
- Abstract要約: 単調性を持つパラメトリック非線形偏微分方程式のクラスに対する計算可能誤差推定器を証明した。
構成は非線形作用素を線形部分と強い単調閉包に分割することによる。
任意の入力に対して計算可能であり、両方の推定器はパラメーター対解写像のニューラルネットワーク近似のための変分正しい損失関数として機能する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We construct computable error estimators, which double as loss functions for neural networks, for a class of parametric nonlinear partial differential equations with a monotonicity property, and prove that they are globally reliable and efficient. The value of such a loss function is bounded above and below by the squared error in the natural trial norm, for every trial function, not merely for those near the exact solution; this global property rests on monotonicity. The construction rests on splitting the nonlinear operator into a linear part and a strongly monotone closure, and on measuring the linear residual in a discrete dual norm. Since the closure contributes a dual norm that admits no closed form when the trial norm is stronger than an $L_2$ norm, the estimator is built around a computable surrogate for it, required only to satisfy a pairing bound and a Lipschitz bound. The main theorem then yields two-sided bounds with explicit constants and covers two instances. A first-order system least-squares estimator on conforming trial spaces is the first instance studied: its two-sided bound holds on the whole trial space and therefore applies to arbitrary approximations, including those not in a discrete finite element space. The second instance is a discontinuous Petrov-Galerkin estimator on trial spaces of finite element functions for each parameter value, built with broken test spaces, for which no conformity is required and the dual norm is computed by independent element-local problems. All assumptions are verified for a model class of nonlinear fluxes, with the constants tracked explicitly in terms of the parameter range. Being computable for an arbitrary input, both estimators serve as variationally correct loss functions for neural network approximations of parameter-to-solution maps.
- Abstract（参考訳）: 単調性を持つパラメトリック非線形偏微分方程式のクラスに対して,ニューラルネットワークの損失関数を2倍にする計算可能誤差推定器を構築し,これらがグローバルに信頼性が高く,効率的であることを証明した。
そのような損失関数の値は自然公試ノルムの2乗誤差によって上下に制限され、全ての公試函数は、正確な解に近いものだけでなく、その大域的な性質は単調性に依存している。
この構成は、非線形作用素を線形部分と強い単調閉包に分割し、離散双対ノルムにおける線形残差を測定することにかかっている。
閉包は、トライアルノルムが$L_2$ノルムよりも強いとき閉形式を含まない双対ノルムに寄与するので、推定子は、ペアリング境界とリプシッツ境界のみを満たすのに必要な計算可能なサロゲートの周りに構築される。
主定理はその後、明示的な定数を持つ両側境界を導き、2つのインスタンスをカバーする。
試行空間上の一階系最小二乗推定器は、その二辺境界が試行空間全体を占め、したがって離散有限要素空間に存在しないものを含む任意の近似に適用される最初の例である。
第二の例は、各パラメータ値に対する有限要素関数の試行空間上の不連続なペトロフ・ガレルキン推定器で、整合性は不要であり、双対ノルムは独立元局所問題によって計算される。
すべての仮定は非線形フラックスのモデルクラスに対して検証され、定数はパラメータ範囲の点で明示的に追跡される。
任意の入力に対して計算可能であり、両方の推定器はパラメーター対解写像のニューラルネットワーク近似のための変分正しい損失関数として機能する。
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