論文の概要: A Convex Quasilinearization Method for Solving Nonlinear PDEs with Physics-Informed Neural Networks
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2606.18175v1
- Date: Tue, 16 Jun 2026 17:09:59 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-06-17 17:15:32.566045
- Title: A Convex Quasilinearization Method for Solving Nonlinear PDEs with Physics-Informed Neural Networks
- Title（参考訳）: 物理インフォームドニューラルネットワークによる非線形PDEの解法に関する凸準線形化法
- Authors: Gbenga T. Awojinrin, Abdul-Akeem Olawoyin, Rami M. Younis,
- Abstract要約: 非線形偏微分方程式(PDE)の前方解の数値解法を提案する。
この方法であるLiL-Qは、7つのベンチマークで評価され(平面ひずみ弾性と2次元および3次元の非圧縮性ナビエ・ストークス方程式)、不均一な透水性を持つ定常流を含む。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We present a numerical method for the forward solution of nonlinear partial differential equations (PDEs) in which Bellman-Kalaba quasilinearization reduces the nonlinear problem to a sequence of linear subproblems, each discretized by collocation onto a trial space that is linear in its parameters and solved by a single direct linear least-squares QR factorization. The trial space, which we term Linear-in-Learnables (LiL), comprises representations whose trainable parameters enter linearly, including random-feature extreme learning machines, spectral polynomial bases, and trigonometric expansions, each implemented as a physics-informed neural network. The method thus replaces the nonconvex gradient-based training that limits standard PINNs with a convex per-step solve. We establish local Newton-Kantorovich convergence of the outer iteration to a residual-limited neighborhood under an explicit smallness condition, with the limiting accuracy governed by the best-approximation residual of the trial space rather than by an optimization tolerance. The method, denoted LiL-Q, is assessed on seven benchmarks spanning scalar nonlinear PDEs (Bratu, viscous Burgers, Buckley-Leverett), coupled systems (plane-strain elasticity and the incompressible Navier-Stokes equations in two and three spatial dimensions), and steady-state Darcy flow with heterogeneous permeability. Across these problems, LiL-Q converges in single-digit outer iterations in most cases, even at the coarsest basis sizes and independent of the parameter count. When the exact solution lies in the span of the trial space, the method recovers it to machine precision in a single solve. On the Navier-Stokes benchmarks, it matches or exceeds published PINN solvers with up to two orders of magnitude fewer trainable parameters, without gradient-based optimization.
- Abstract（参考訳）: 本稿では, 非線形偏微分方程式 (PDE) の前方解法について, ベルマン・カラバ準線形化により非線形問題を線形サブプロブレムの列に還元し, それぞれパラメータで線形な試行空間に共役して1つの直線型最小二乗QR分解によって解ける数値解を提案する。
リニア・イン・ラーナブルズ(LiL)と呼ばれる試行空間は、ランダム機能極端学習機械、スペクトル多項式基底、三角展開を含む、トレーニング可能なパラメータが線形に進入する表現で構成され、それぞれが物理インフォームドニューラルネットワークとして実装されている。
これにより、標準のPINNを1ステップあたりの凸解で制限する非凸勾配に基づくトレーニングを置き換えることができる。
我々は, 実験空間の最適近似残差に支配される制限精度を, 最適化許容度ではなく, 局所的なニュートン・カントロビッチ収束を, 明示的な小ささ条件の下で残限近傍に設定する。
この方法は、スカラー非線形PDE(Bratu, viscous Burgers, Buckley-Leverett)、結合系(平面-ひずみ弾性と2次元および3次元の非圧縮性ナビエ-ストークス方程式)、不均一な透水性を有する定常ダルシー流の7つのベンチマークで評価される。
これらの問題全体で、LiL-Qは、最も粗い基底サイズでパラメータ数に依存しない場合でも、ほとんどの場合、単一桁の外部反復に収束する。
正確な解が試行空間の幅にあるとき、その解は1つの解で機械の精度を回復する。
Navier-Stokesベンチマークでは、勾配ベースの最適化なしで、最大2桁のトレーニング可能なパラメータで公開のPINNソルバと一致または超えている。
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