論文の概要: Semi-Cliffordness of the Clifford hierarchy for a single qudit in composite dimensions
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.06836v1
- Date: Mon, 05 Oct 2026 17:58:27 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-10-08 22:12:53.537347
- Title: Semi-Cliffordness of the Clifford hierarchy for a single qudit in composite dimensions
- Title（参考訳）: 複合次元における単一キューディットに対するクリフォード階層の半クリフォード性
- Abstract要約: 次元 (d) の1つのクディット上のすべての階層ゲートが半クリフォードであることを証明する。
また、一量子クリフォード階層のすべての三次ゲートが任意の次元における一般化半クリフォードであることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.7161783472741748
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: An important question in quantum information theory asks whether every gate in the Clifford hierarchy is semi-Clifford or not, as such gates admit resource-efficient implementations via gate teleportation. Extending recent results for prime dimensions~\cite{silva_clifford_2025}, we prove that every hierarchy gate on a single qudit of dimension \(d\) is semi-Clifford, if and only if \(d\) is square-free. In composite dimensions, \(\mathbb{Z}_d^2\) is a symplectic module rather than a vector space, motivating a distinction between four types of gates. Semi-Clifford gates ($\mathcal{SC}$) are the ones that become diagonal under left and right multiplication by Clifford gates, while a broader class $\mathcal{N}$ admits a permutation diagonal form, under left and right multiplication by Cliffords. Lagrangian semi-Clifford gates ($\mathcal{LSC}$) conjugate some maximal abelian Pauli subgroup to another, whereas generalized semi-Clifford gates ($\mathcal{GSC}$) map some maximal abelian Pauli subalgebra to another under conjugation. In square-free dimensions, we have \(\mathcal{SC}=\mathcal{LSC}\) and \(\mathcal{N}=\mathcal{GSC}\), but when \(d\) is not square-free, these equivalences can fail, as Lagrangian submodules can become non-free. We also show that every third-level gate of the one-qudit Clifford hierarchy is a generalized semi-Clifford in arbitrary dimensions.
- Abstract（参考訳）: 量子情報理論における重要な疑問は、クリフォード階層内の全てのゲートが半クリフォードであるかどうかを問うことである。
素次元~\cite{silva_clifford_2025} に対する最近の結果を拡張して、次元 \(d\) の1つのクディット上のすべての階層ゲートが半クリフォードであることを証明する。
合成次元において、 \(\mathbb{Z}_d^2\) はベクトル空間ではなくシンプレクティック加群であり、四種類のゲートの区別を動機付けている。
セミ・クリフォード・ゲート(Semi-Clifford gates)(\mathcal{SC}$)はクリフォード・ゲート(Clifford gates)の左右乗法の下で対角となるものであり、より広いクラス$\mathcal{N}$は、クリフォードの左右乗法の下で、置換対角形式を認める。
Lagrangian semi-Clifford gates ($\mathcal{LSC}$) は極大アーベルパウリ部分群を別の部分群に共役する一方、一般化された半クリフォードゲート(\mathcal{GSC}$)は極大アーベルパウリ部分代数を共役の下で別の部分代数に写す。
平方次元では、 \(\mathcal{SC}=\mathcal{LSC}\) と \(\mathcal{N}=\mathcal{GSC}\) を持つが、 \(d\) が平方自由でないとき、これらの同値性はラグランジュ部分加群が非自由になるので失敗する。
また、一量子クリフォード階層のすべての三次ゲートが任意の次元における一般化半クリフォードであることを示す。
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