論文の概要: Quantum geometry at arbitrary genus - I: Anharmonic potentials

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.10940v1
• Date: Wed, 07 Oct 2026 21:43:55 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-10 02:36:53.681922
• Title: Quantum geometry at arbitrary genus - I: Anharmonic potentials
• Title（参考訳）: 任意の属における量子幾何学 -I:アンハーモニックポテンシャル
• Abstract要約: 種数1ポテンシャルの量子力学では、位相的に自明なサドルと非摂動的インスタントンサドルに関する摂動理論は、P/NP関係を通じて構成的に関係している。 物理的に関係のある WKB 活性サイクルは一般に、textSL (2textg,mathbbZ)$にあるがシンプレクティック群 $textSp (2textg,mathbbZ)$ once $textggeq でない線形変換によって、Picard-Fuchs 基底と関係していることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: In quantum mechanics of genus-1 potentials, perturbation theory around the topologically trivial saddle and non-perturbative instanton saddle are constructively related via the P/NP relation. Whether such a relation persists for higher-genus potentials has remained an open problem. In this work, we resolve it using tools from complex algebraic geometry combined with exact WKB. The classical energy conservation relation $p^2 = 2(E-V(q))$ defines a genus-g Riemann surface $X$, whose periods are naturally organized by its Jacobian variety $J(X) = \mathbb{C}^{\text{g}}/Λ$ via the Abel-Jacobi map, and independently by the solution basis of the associated Picard-Fuchs equations. We show that the physically relevant, WKB-active cycles are generally related to the Picard-Fuchs basis by a linear transformation that lies in $\text{SL}(2\text{g},\mathbb{Z})$ but not in the symplectic group $\text{Sp}(2\text{g},\mathbb{Z})$ once $\text{g}\geq2$, in contrast to the genus-1 case, where the two groups coincide. This mismatch is the obstruction that has made an explicit higher-genus P/NP relation elusive. We show that it can be resolved by passing to a modified Riemann bilinear identity, built from a suitably transformed intersection matrix, which the WKB-active periods do satisfy exactly. The result is an all-orders quantum P/NP relation valid for potentials of arbitrary genus, which we derive explicitly for genus-2 (quintic and sextic) and genus-3 (septic and octic) anharmonic oscillators.
• Abstract（参考訳）: 種数1ポテンシャルの量子力学では、位相的に自明なサドルと非摂動的インスタントンサドルに関する摂動理論は、P/NP関係を通じて構成的に関係している。 そのような関係が高次ポテンシャルに対して持続するかどうかは、未解決の問題のままである。 本研究では、複素代数幾何学と正確な WKB を組み合わせたツールを用いて解決する。 古典的エネルギー保存関係 $p^2 = 2(E-V(q))$ は種数-g リーマン曲面 $X$ を定義し、その周期はヤコビ多様体 $J(X) = \mathbb{C}^{\text{g}} とアベル・ヤコビ写像 (Abel-Jacobi map) によって自然に整理される。 物理的に関係のある WKB の活性サイクルは、一般には $\text{SL}(2\text{g},\mathbb{Z})$ でもシンプレクティック群 $\text{Sp}(2\text{g},\mathbb{Z})$ once $\text{g}\geq2$ とは対照的に、2つの群が一致する属-1 の場合とは対照的である。 このミスマッチは、明らかに高次P/NP関係を解明する障害である。 適切に変換された交叉行列から構築された修正リーマン双線型恒等式(英語版)を、WKB-活性周期が正確に満たすような修正リーマン双線型恒等式(英語版)に渡すことで解決できることが示される。 その結果、任意の属のポテンシャルに有効な全順序量子P/NP関係が得られた。

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