論文の概要: Geometric Kernel Diversity: An Axiomatic Diversity Measure in Euclidean Space
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.19570v1
- Date: Wed, 14 Oct 2026 04:36:02 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-10-15 21:06:15.961082
- Title: Geometric Kernel Diversity: An Axiomatic Diversity Measure in Euclidean Space
- Title（参考訳）: 幾何学的カーネルの多様性:ユークリッド空間における公理的多様性の測定
- Abstract要約: オブジェクトの集合の多様性を定量化することは、機械学習と統計学における根本的な問題である。
Mironov と Prokhorenkova (2025) は最近、3つの公理-モニティ、一意性、連続性-が信頼性のある多様性尺度に不可欠であることを示した。
我々は、放射核固体を各点に関連付け、それらの結合の体積を測定する幾何学的カーネル多様性(GKD)を紹介する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.915562987241468
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
- Abstract: Quantifying the diversity of a set of objects is a fundamental problem in machine learning and statistics. Mironov and Prokhorenkova (2025) recently showed that three axioms-monotonicity, uniqueness, and continuity-are crucial for a reliable diversity measure and that none of the standard metrics in the literature satisfy all three. They also constructed two measures that do satisfy the axioms, but both are NP-hard to compute, leaving open the question of whether efficient axiomatic diversity measures can exist. We study a Euclidean-restricted version of this question. We introduce Geometric Kernel Diversity (GKD), which associates a radial kernel solid with each point and measures the volume of their union. We show that canonical GKD satisfies all three Mironov-Prokhorenkova axioms on Euclidean-realizable inputs. For canonical GKD, we give exact polynomial-time algorithms in dimensions $d \le 3$. In arbitrary dimensions, we give a randomized algorithm that returns a $(1 \pm \varepsilon)$-approximation with probability at least $1-δ$ in time $O \left(\frac{nd}{\varepsilon^2}\log\frac{2}δ\right)$ for $n$ points. The axiomatic guarantee applies to exact canonical GKD; the randomized algorithm approximates this deterministic quantity. We further show that the two diversity measures of Mironov and Prokhorenkova (2025) remain NP-hard on Euclidean-realizable inputs and, unless $\mathrm{NP} = \mathrm{RP}$, admit no FPRAS even on this restricted domain.
- Abstract（参考訳）: オブジェクトの集合の多様性を定量化することは、機械学習と統計学における根本的な問題である。
Mironov と Prokhorenkova (2025) は、最近、3つの公理-単調性、一意性、連続性-が信頼性のある多様性尺度にとって不可欠であり、文献の標準指標がいずれも3つ全てを満たすことはないことを示した。
彼らはまた、公理を満たす2つの測度を構築したが、どちらも計算にNPハードであり、効率的な公理的多様性測度が存在するかどうかという疑問を解き放つ。
この問題のユークリッド制限版について検討する。
我々は、放射核固体を各点に関連付け、それらの結合の体積を測定する幾何学的カーネル多様性(GKD)を紹介する。
標準GKDはユークリッド実現可能な入力に対して3つのミロノフ・プロホーレンコヴァ公理を満たすことを示す。
標準GKDに対して、次元$d \le 3$の正確な多項式時間アルゴリズムを与える。
任意の次元において、$(1 \pm \varepsilon)$-approximation を確率 1-δ$ in time $O \left(\frac{nd}{\varepsilon^2}\log\frac{2}δ\right)$ で返すランダム化アルゴリズムを与える。
公理的保証は正確な標準GKDに適用され、ランダム化アルゴリズムはこの決定論的量に近似する。
さらに、Mironov と Prokhorenkova (2025) の2つの多様性尺度がユークリッド実現可能な入力に対してNPハードのままであり、$\mathrm{NP} = \mathrm{RP}$ がなければ、この制限された領域でさえ FPRAS は認めない。
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