論文の概要: Cayley access models for matrix functions: reachable class and cost
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.23429v1
- Date: Fri, 16 Oct 2026 13:16:51 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-10-20 00:56:07.93655
- Title: Cayley access models for matrix functions: reachable class and cost
- Title（参考訳）: 行列関数に対するケイリーアクセスモデル:到達可能なクラスとコスト
- Abstract要約: 我々は量子コンピュータ上で$f(A)b$を計算する方法を研究し、$A$はHermitianである。
ケイリー符号化は必要度を3倍から4倍に減らす。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
- Abstract: We study how to compute $f(A)b$ on a quantum computer, where $A$ is Hermitian. When $f$ is nonsmooth or has localized difficulty in the spectrum, classical numerical linear algebra approximates it with rational functions rather than polynomials. We propose the Cayley transform, parameterized by $σ\in \mathbb{R}$ and $γ> 0$, as an alternative to the standard quantum access model. The two parameters let one concentrate accuracy where $f$ is difficult, which standard models can achieve only by raising the polynomial degree globally. This transformation converts Hermitian matrices to unitaries, allowing generalized quantum signal processing to apply Laurent polynomials bounded on the unit circle. We compare three access models (block encoding, matrix exponential, and Cayley encoding) in terms of query complexity and of the cost of their circuit realization. When the difficulty of $f$ is localized in the spectrum, the Cayley encoding reduces the required degree by a factor of three to four, and it represents the shifted resolvent exactly at degree one. For spectral projectors, the standard models cannot reach the target accuracy at fixed degree, because their approximants cannot concentrate resolution near the discontinuity. Realizing the Cayley encoding from a block encoding requires solving a shifted linear system, whose cost offsets its query-complexity gain over the standard models. For structured matrices arising in practice, however, low-depth circuits for the encoding can be constructed directly, and the gain is preserved at the circuit level.
- Abstract（参考訳）: 我々は量子コンピュータ上で$f(A)b$を計算する方法を研究し、$A$はHermitianである。
f$ が非滑らかであるかスペクトルの局所的困難であるとき、古典的数値線型代数は多項式よりも有理関数に近似する。
我々は、標準的な量子アクセスモデルに代わるものとして、$σ\in \mathbb{R}$と$γ> 0$でパラメータ化されたケイリー変換を提案する。
2つのパラメータは、$f$が難しいような精度を集中させ、標準モデルは多項式次数を上げることでのみ達成できる。
この変換はエルミート行列をユニタリに変換し、一般化された量子信号処理により単位円上に有界なローラン多項式を適用する。
我々は,3つのアクセスモデル(ブロック符号化,行列指数,ケイリー符号化)を,クエリ複雑性と回路実現のコストの観点から比較した。
f$の難易度がスペクトル内で局所化されるとき、ケイリー符号化は必要度を3倍から4倍に減らし、シフトした分解剤を正確に次数1で表す。
スペクトルプロジェクタの場合、標準モデルは不連続付近の分解能に集中できないため、一定の精度で目標精度に達することができない。
ブロックエンコーディングからケイリーエンコーディングを実現するには、標準モデルよりもクエリ/複雑度が向上するコストを相殺するシフト線形システムを解く必要がある。
しかし、実際に生じる構造化行列に対しては、符号化のための低深度回路を直接構築でき、回路レベルで利得を維持できる。
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